tag:blogger.com,1999:blog-75970368119548567962024-03-13T12:15:04.825+01:00Blog sobre MatemáticasEsta es una ventana para que podáis ver lo que hago y por lo que tengo pasión.David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.comBlogger44125tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-90952091544429323652021-06-03T20:42:00.013+02:002021-06-04T12:38:59.142+02:00Profundiza 2021: Manipulando con las Matemáticas a través de cúpulas geodésicas.<p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Esta vez, desde la trinchera del IES Santa María del Águila, he tenido la ocasión de coordinar un programa <a href="https://www.juntadeandalucia.es/educacion/portals/web/ced/planesyprogramas/profundiza" target="_blank">Andalucía Profundiza</a> titulado </span><span style="text-align: left;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><b>Manipulando con las Matemáticas: cúpulas geodésicas.</b></span></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-size: medium;"><span style="text-align: left;"><span style="font-family: arial;">El alumnado </span></span><span style="font-family: arial; text-align: left;">participante han sido 10 chicas y un chico de 3º y 4º de ESO, que cursan Matemáticas Orientadas a las enseñanzas académicas, cuyo interés por el conocimiento y de forma particular por la Matemática, bien merecen el esfuerzo añadido al ya arduo trabajo.</span></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium; text-align: left;">En las 8 sesiones llevadas a cabo durante los meses de abril y mayo, hemos ido desgranando múltiples cuestiones sobre Geometría, cuyo objetivo no era otro que el acercamiento a la consecución última del objetivo: construir cúpulas geodésicas y presentar en distintos concursos (aunque con ópticas diferentes) las ventajas que tienen este tipo de construcciones.</span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><span style="text-align: left;">Entrando en materia, u</span>na cúpula geodésica es un poliedro construido partiendo de
otros (generalmente los sólidos platónicos o regulares) al subdividir sus caras
y hacer coincidir los vértices de las nuevas con la esfera circunscrita al
poliedro original. La cúpula resultante se clasifica como nV, donde n denota
las partes en que se divide la arista original, y es llamada frecuencia de la
cúpula.</span></p><p></p><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><div style="text-align: justify;">El origen de estos cuerpos, hay que situarlo en la década de 1940 cuando el inventor y
arquitecto Richard Buckminster Fuller estudió las cúpulas geodésicas, culminando en
1954 con una patente que desembocó en encargos tan conocidos como el pabellón de
EEUU en la Exposición Universal de Montreal (Canadá) en 1967 y que actualmente
alberga la Biosphère, un museo dedicado al Medio Ambiente.<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnmRgdgqrg0N9c8kONJky_f7QAUokBV5mcsZytq37xaB2tYJM9iutAjf06Wn3W9iePCG8YKjwFbwcpKBb6F0aRYuN9KCINr0Via9jQePdXeqbfohOOgOAabL-WE1tF9gWFCCBtkyvQ2k9w/s276/280px-17-08-islcanus-RalfR-DSC_3883.jpg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><img border="0" data-original-height="233" data-original-width="276" height="541" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnmRgdgqrg0N9c8kONJky_f7QAUokBV5mcsZytq37xaB2tYJM9iutAjf06Wn3W9iePCG8YKjwFbwcpKBb6F0aRYuN9KCINr0Via9jQePdXeqbfohOOgOAabL-WE1tF9gWFCCBtkyvQ2k9w/w640-h541/280px-17-08-islcanus-RalfR-DSC_3883.jpg" width="640" /></span></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Biosphère de Montreal (fuente: Wikipedia)</span></td></tr></tbody></table></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h3 style="text-align: justify;"><b>Construcción y las Matemáticas que esconde</b></h3><div style="text-align: justify;"><b><br /></b></div><div style="text-align: justify;">Partiendo del icosaedro (sólido platónico con 20 caras triangulares) y al subdividir sus
aristas, generamos la cúpula 2V y en particular la semicúpula 2V, como muestran las
figuras adjuntas:</div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqmFOAnoDEEFDtUy6ty7UA85lDZRoNY5CTbx5tJrY4sJHMxxjT6TuZqHdiqBipr5cy8_oH6Rglw__4MaDD1jFUY7AicV4Lka9WTJQtCHEwAQenByjFtWJsD6_rOcV-TTARBhbG0bXuZAf4/s692/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="260" data-original-width="692" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqmFOAnoDEEFDtUy6ty7UA85lDZRoNY5CTbx5tJrY4sJHMxxjT6TuZqHdiqBipr5cy8_oH6Rglw__4MaDD1jFUY7AicV4Lka9WTJQtCHEwAQenByjFtWJsD6_rOcV-TTARBhbG0bXuZAf4/w640-h240/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0iE_wFp6h71pgOvJIVhyphenhyphenQVgGyexRCn0OGD_ohhGMP58HzxMDF-44X5mtELE_p83k89nta5wIvW12wSMlyb2Z8BGPhHeHIo3PsoyoFxcHs2GoqV6NI0VNynXwaAu8OIV9WrKOxd9h1iUJw/s727/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="308" data-original-width="727" height="272" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0iE_wFp6h71pgOvJIVhyphenhyphenQVgGyexRCn0OGD_ohhGMP58HzxMDF-44X5mtELE_p83k89nta5wIvW12wSMlyb2Z8BGPhHeHIo3PsoyoFxcHs2GoqV6NI0VNynXwaAu8OIV9WrKOxd9h1iUJw/w640-h272/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" width="640" /></a></div><br /></span><p></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">La regularidad del icosaedro, hace que en cara vértice confluyan 5 aristas, de ahí que las
que tienen color rojo conserven esa propiedad. Por su parte, las azules inciden en orden 6
(4 azules más 2 rojas) estando relacionadas las Aristas (30 rojas y 35 azules), el número
de Vértices (10 de orden 6, 6 de orden 5 y 10 de orden 4) con el número de Caras (30
formadas por triángulos de aristas de distinto color y 10 en color azul) por la fórmula de
Euler, para superficies orientables convexas y con un borde:</span></p><p style="text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">𝐶 + 𝑉 − 𝐴 = 1 ⇒ 40 + 26 − 65 = 1</span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">El cálculo de la longitud de las aristas rojas y azules, está determinado por el radio R de la
esfera circunscrita, e íntimamente ligado al número de oro:</span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyQxShJAW0L-KulF4LuwG0OXgprNpmkl976m56lqxSMiIyCL5PM4kzMm_VUWNuPQT9tTKfjfBSUlMtIsjKADuURtBth_c053WUSMvxNscEg_UIDYHINY3b8J5aZMQ5nDkbGR73XesxUqOX/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="178" data-original-width="573" height="99" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyQxShJAW0L-KulF4LuwG0OXgprNpmkl976m56lqxSMiIyCL5PM4kzMm_VUWNuPQT9tTKfjfBSUlMtIsjKADuURtBth_c053WUSMvxNscEg_UIDYHINY3b8J5aZMQ5nDkbGR73XesxUqOX/" width="320" /></a></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPkFiilnosNC8mJBwtHx-ubu5TLMqUL7A3RVtpxElbAj6hA3YsQ6VfXCTgTT-MfmWyTwvXdCQS7bRY3_9npE_BxLs0QjCPd-49ZXNYgPIM6hYNklJu2NYfhaB5eOo6wyjBSeIIl7E8QiwH/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="123" data-original-width="143" height="66" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPkFiilnosNC8mJBwtHx-ubu5TLMqUL7A3RVtpxElbAj6hA3YsQ6VfXCTgTT-MfmWyTwvXdCQS7bRY3_9npE_BxLs0QjCPd-49ZXNYgPIM6hYNklJu2NYfhaB5eOo6wyjBSeIIl7E8QiwH/w76-h66/image.png" width="76" /></a></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Los requerimientos para una cúpula de 168 cm de radio son:</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><ul><li><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Tipo B: 35 aristas de 104 cm.</span></li><li><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Tipo A: 30 aristas de 92 cm.</span></li><li><span style="font-family: arial; font-size: medium;">10 vértices de orden 4.</span></li><li><span style="font-family: arial; font-size: medium;">6 vértices de orden 5.</span></li><li><span style="font-family: arial; font-size: medium;">10 vértices de orden 6.</span></li></ul><div><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: arial;">En el siguiente vídeo, </span><span style="font-family: arial;">pueden verse los pasos del montaje:</span></span></div><div><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><br /></span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><iframe allowfullscreen="" class="BLOG_video_class" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/zikn3CEP9SU" width="320" youtube-src-id="zikn3CEP9SU"></iframe></span></div><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><br /><span><br /></span></span></div></div><h3 style="clear: both; text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Premio en el VII Certamen de Proyectos Educativos Ambientales de la UAL: Cúpulas geodésicas como viviendas sostenibles.</span></h3><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: arial;">El Certamen de Ciencias Ambientales, es un concurso organizado por <a href="http://www2.ual.es/cecoual/certamen-de-proyectos-educativos-de-ciencias-ambientales/">CECOUAL</a>, cuya VII edición tuvo lugar de forma presencial el pasado 21 de mayo en el Aulario I de nuestra Universidad. </span><span style="font-family: arial;">Entre los objetivos del evento, se encuentra </span></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="color: #363636; font-family: arial; font-size: medium; line-height: 107%;"><blockquote><i><span>"contribuir al desarrollo de la alfabetización científica de los
estudiantes, así como a la necesidad de difundir y comunicar la ciencia para
que los convierta en mejores ciudadanos; fomentar la conciencia ambiental entre
los jóvenes; hacerles apreciar el papel fundamental del conocimiento en la
conservación del medio ambiente y el desarrollo sostenible del planeta; y
apoyar el desarrollo de habilidades transversales de comunicación oral y
escrita, fomentando el sentido crítico y la capacidad de trabajo en equipo de
los estudiantes."</span></i></blockquote><p> </p></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">El trabajo realizado por el IES Santa María del Águila, <b>Cúpulas geodésicas como viviendas sostenibles</b>, fue galardonado con el <b><a href="https://news.ual.es/empleo-y-becas/el-vii-certamen-de-proyectos-ambientales-de-la-ual-dobla-el-numero-de-premios-otorgados-por-la-calidad-de-los-trabajos/">segundo premio</a></b> de su modalidad, y de forma unánime el jurado felicitó al alumnado participante, destacando la <i>calidad del proyecto presentado</i>.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><p class="MsoNormal"><span style="font-family: arial; font-size: medium; line-height: 107%;">Este tipo de construcción tiene grandes ventajas desde el
punto de vista de una vivienda sostenible:</span></p><p class="MsoNormal"></p><ul><li><span style="font-family: arial; font-size: medium;">La
esfera resuelve el problema isoperimétrico, es decir, para un volumen dado, el
cuerpo que minimiza el área que encierra es la esfera. Este hecho faculta a las
esferas y de forma particular a las cúpulas geodésicas, a convertirse en
estructuras que optimizan el material constructivo necesario para su
realización.</span></li></ul><div><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><br /></span></div><ul><li><span style="font-family: arial; font-size: medium;">La
posibilidad de cubrir grandes distancias (recordemos que la Biosphère tiene 76
m de diámetro y 41,5 m de altura) sin el empleo de pilares, hace de su interior
un <b>espacio diáfano y versátil</b> que puede ser adaptado a distintos usos y cuya
posterior reforma no implica quebraderos de cabeza estructurales a la hora de
demoler paredes o encontrarse con incómodas estructuras de hormigón que
cercenen las necesidades futuras.</span></li></ul><div><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><br /></span></div><ul><li><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><span style="line-height: 107%;">Suponen
un <b>considerable ahorro</b> su construcción en tanto en cuanto los cimientos que
requieren no son especialmente sobredimensionados, ni necesitan una roturación
grande del terreno donde se vaya a situar.</span></span></li></ul><div><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><br /></span></div><ul><li><span style="text-indent: -36pt;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Las
cúpulas geodésicas tienen <b>todas las orientaciones posibles</b>, lo que minimiza el
coste energético necesario para obtener un confort climático adecuado, con una
temperatura casi uniforme todo el año. Además, se pueden incorporar sencillos
sistemas de ventilación que permite una climatización geotérmica. Este es el
caso de los <b>pozos canadienses</b>, que se encuentran formados por tuberías
enterradas en el suelo a unos dos metros de profundidad, y que por el principio
de inercia térmica consiguen, dependiendo de la zona climática, que la vivienda
tenga un rango de temperatura en torno a los 20 º C en cualquier estación del
año, sin consumir un solo kilovatio.<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpMFngkNz1TU44TTjGh0bCjLohY2MlLYoV-1RuYZXn8zbs2hng1uVyYrSHKA-XN2kwk2zuW0KvNanYVUT6hRzri16BQ9YaudXufy02mxr5C8woy4kJ6DF1b8Tc6vAllcAZx1RKRUCiPMFE/s835/Sin+t%25C3%25ADtulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="469" data-original-width="835" height="360" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpMFngkNz1TU44TTjGh0bCjLohY2MlLYoV-1RuYZXn8zbs2hng1uVyYrSHKA-XN2kwk2zuW0KvNanYVUT6hRzri16BQ9YaudXufy02mxr5C8woy4kJ6DF1b8Tc6vAllcAZx1RKRUCiPMFE/w640-h360/Sin+t%25C3%25ADtulo.png" title="Imagen de Asmae Errosafi" width="640" /></a></div><div style="text-align: center;"><span style="text-indent: -36pt;">(Dibujo de la alumna Asmae Errossafi, de un pozo canadiense)</span></div></span></span></li></ul><div style="text-indent: -48px;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><br /></span></div><ul><li><span style="text-indent: -36pt;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Se
pueden utilizar<b> materiales naturales</b> en su construcción, que garanticen un
entorno sostenible. Algunos ejemplos destacados son la celulosa natural como
aislante térmico, mortero de cal o corcho natural como envolvente, madera en
estructura y cerramientos, <b>paneles solares fotovoltaicos</b> como recubrimientos
para la obtención de agua caliente, baterías para almacenar electricidad y
canalones o sumideros como sistemas de <b>reciclaje del agua</b> de lluvia.</span></span></li></ul><div style="text-indent: -48px;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><br /></span></div><ul><li><span style="text-indent: -36pt;"><span style="font-family: arial; font-size: medium;">Las
ventajas aerodinámicas frente a las paredes planas convencionales que conforman
los paramentos de las viviendas tradicionales, convierten a las cúpulas
geodésicas en estructuras que pueden <b>soportar</b> mejor los envites de los <b>vientos
huracanados</b> (nótese que los iglús, variantes de las cúpulas, han sido usados
durante siglos como refugios temporales de los pueblos que habitan las regiones
más hostiles del hemisferio norte).</span></span></li></ul><p></p><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><!--[if !supportLists]--></span><p></p>
</div><span style="font-family: arial; font-size: medium;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs5n56rQe9lBtjbRfBS92km_DfraE7NT6Z8bmFvFIQoh06lIFremYvXqc1zS5GLlGKToK5JBNUExc9gr9khUmGS42Bky5GdNfX6rsfVJcVuwfUdYY5IyxQkiuOd55qcAiCsxz_ro6ujniO/s623/Sin+t%25C3%25ADtulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="617" data-original-width="623" height="634" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs5n56rQe9lBtjbRfBS92km_DfraE7NT6Z8bmFvFIQoh06lIFremYvXqc1zS5GLlGKToK5JBNUExc9gr9khUmGS42Bky5GdNfX6rsfVJcVuwfUdYY5IyxQkiuOd55qcAiCsxz_ro6ujniO/w640-h634/Sin+t%25C3%25ADtulo.png" title="(Dibujo del alumno Oussama Hrita)" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">(Dibujo del alumno Oussama Hrita)</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Para finalizar, os dejamos el vídeo de la exposición frente al jurado en el VII Certamen, sin olvidarnos de agradecer a Juan Gisbert, Azucena Laguía y Esther Giménez su trabajo y entusiasmo, para propiciar el encuentro.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" class="BLOG_video_class" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/Hv2GZr0ytEw" width="320" youtube-src-id="Hv2GZr0ytEw"></iframe></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><br /><br /><br /></span></div><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: medium; line-height: 107%;"><o:p></o:p></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: large; text-align: left;"><br /></span></p>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-2139212919411723392020-03-18T11:17:00.001+01:002020-03-18T11:17:27.975+01:00Coronavirus y el modelo exponencial<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW7aFNwDrf8jdfYkYwVzGa5fns1Q40ZzTmvE7852BVjeFr814FQlibP3KZWA6ujofYNfcZYLUYhFqMwghrljJmNER5WckJ3ofwA-XWJH3YX1OxSnTxcObzrNDmh0GGyZf84sBgL19oMfHY/s1600/Coronavirus.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" data-original-height="900" data-original-width="1324" height="432" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW7aFNwDrf8jdfYkYwVzGa5fns1Q40ZzTmvE7852BVjeFr814FQlibP3KZWA6ujofYNfcZYLUYhFqMwghrljJmNER5WckJ3ofwA-XWJH3YX1OxSnTxcObzrNDmh0GGyZf84sBgL19oMfHY/s640/Coronavirus.png" width="640" /></a>Estos días de confinamiento obligado me han permitido leer
sin cortapisas, una de mis aficiones más introspectivas. A falta de poder salir a la calle echando de menos ver el mar de cerca, el monotema que nos tiene absortos es el COVID-19 o coronavirus. Las noticias sobre él, alarmantes por momentos, se jalonan de algunas
barbaridades que un matemático no puede leer sin que le piten los oídos.<br />
<br />
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Algunos rotativos insignes, como La Vanguardia<br />
(<a href="https://www.lavanguardia.com/vida/20200316/474186615740/evolucion-curva-coronavirus-por-comunidad-autonoma.html">https://www.lavanguardia.com/vida/20200316/474186615740/evolucion-curva-coronavirus-por-comunidad-autonoma.html</a>) afirman que<br />
<br /></div>
<blockquote class="tr_bq" style="text-align: justify;">
<i>“<span style="background: white; color: black;">los casos nuevos
de Covid-19 no paran de aumentar día tras día. La curva de crecimiento es
exponencial: incrementó de 0 a 100 en la primera semana, de 100 a 1.000 en la
segunda semana y en la tercera semana todo apunta que se llegará a los 10.000.</span>”</i></blockquote>
<br />
<br />
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Y claro, con la patente de corso de las Matemáticas y la
Ciencia, cualquiera emite juicios sumarísimos que nuestras tragaderas tienen
que aceptar; o no. Si un <i>plumilla </i>debe tener cerca un diccionario para
consultar sus dudas léxicas, próximo debería tener a un matemático al hablar de una disciplina que quizá ni cursó en el Bachillerato.<o:p></o:p><br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Veamos cuáles son las dos grandes falacias de enunciados
como estos:<br />
<b><br /></b>
<b> 1. <i>Crecimiento</i> exponencial.</b><br />
<b><br /></b></div>
La función exponencial es una función real de variable real, considerada dentro del grupo de las elementales. Elementalmente, cualquier
titulado en ESO y qué no decir de los <i>Licenciados Vidriera</i> que tienen a
bien llenar las páginas de los periódicos y parrillas televisivas, debería
conocerla. Se define cuando la base es un número real positivo, <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=a\in&space;\mathbb{R}^{+}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?a\in&space;\mathbb{R}^{+}" title="a\in \mathbb{R}^{+}" /></a>, como:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(x)=a^x,&space;\forall&space;x\in&space;\mathbb{R}" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=a^x,&space;\forall&space;x\in&space;\mathbb{R}" title="f(x)=a^x, \forall x\in \mathbb{R}" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Claramente, dependiendo del valor que tome la base, la naturaleza de la función es distinta pudiendo ser decreciente si <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=0%3C&space;a%3C&space;1" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?0<&space;a<&space;1" title="0< a< 1" /></a> o creciente cuando <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=a%3E1" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?a>1" title="a>1" /></a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Resultado de imagen de funcion exponencial grafica" height="292" src="https://matematicaspr.com/image/l2dj/blog/funciones-exponenciales/crecientes-y-decrecientes.jpg" width="320" /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Aunque el lenguaje a veces pueda parecer excesivo, en un momento en el que se propugna el <i>inclusivo</i> y eternizamos las disertaciones con ellos y ellas, también debería se inclusivo el rigor para hablar de <b>crecimiento exponencial de base mayor que 1.</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><br /></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b> 2. <i>Modelo</i> exponencial para cuantificar los
infectados.</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><br /></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">Si bien es cierto que localmente el crecimiento de la población de infectados puede tener un comportamiento que se asemeje a una función exponencial de base mayor que uno, e<b>ste modelo se vuelve inconsistente ya que no tiene en cuenta las personas que curan de la enfermedad, ni las medidas de aislamiento.</b></span></div>
<span style="text-align: justify;">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;">En efecto, consideremos la siguiente tabla que muestra el número de infectados en España hasta el 17 de marzo:</span></div>
<span style="text-align: justify;">
</span>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<table class="wikitable" style="background-color: #f8f9fa; border-collapse: collapse; border: 1px solid rgb(162, 169, 177); color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: 14px; margin: 1em 0px; text-align: center;"><tbody>
<tr><th style="background-color: #eaecf0; border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">Día</th><th style="background-color: #eaecf0; border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">Casos confirmados</th><th style="background-color: #eaecf0; border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">Activos</th><th style="background-color: #eaecf0; border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">Recuperados</th><th style="background-color: #eaecf0; border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">Muertos</th></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">31 de enero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">9 de febrero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">2</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">2</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">13 de febrero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">3</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">2</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">24 de febrero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">4</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">3</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">25 de febrero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">8</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">7</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">26 de febrero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">14</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">13</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">27 de febrero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">26</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">25</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">28 de febrero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">45</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">44</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">29 de febrero</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">59</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">58</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">84</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">83</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">2 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">125</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">124</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">3 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">169</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">167</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">0</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">2</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">4 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">228</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">224</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">3</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">5 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">282</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">276</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">3</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">3</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">6 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">365</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">347</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">10</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">8</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">7 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">430</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">10</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">8 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">674</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">17</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">9 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1231</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">30</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">10 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1695</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">36</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">11 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">2277</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">55</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">12 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">3146</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;"></td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">86</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">13 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">5232</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">4906</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">193</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">133</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">14 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">6332</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">5603</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">517</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">193</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">15 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">7844</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">7035</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">517</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">292</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">16 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">9942</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">9070</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">530</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">342</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">17 de marzo</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">11178</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">9659</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">1028</td><td style="border: 1px solid rgb(162, 169, 177); padding: 0.2em 0.4em; text-align: center;">491</td></tr>
</tbody></table>
Dado que los datos diarios se han establecido desde el 24 de febrero y considerando un análisis de regresión exponencial por el método de los mínimos cuadrados, que se ajuste a los datos anteriormente descritos, se obtiene la función:<br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=f(x)=8.1693%C2%B7e^{0.3479x}" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=8.1693·e^{0.3479x}" title="f(x)=8.1693·e^{0.3479x}" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
donde <i>x</i> denota el número de días transcurridos desde el 23 de febrero y <i>f(x)</i> el de personas infectadas.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEjLoAklIEX5fT_CGem_CWirtXQ449TfHgblFxKXPyvxNDGJbGpuoqeRywcmPhEnkNGw44tucYv98YJR86MEFb0P2L7FNJwvuRkWqq2Z9_eK05y6QMkxjhZ3HcbF_rVUP1KHZWf8fmGE3p/s1600/Modelo+exponencial+coronavirus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="605" data-original-width="820" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEjLoAklIEX5fT_CGem_CWirtXQ449TfHgblFxKXPyvxNDGJbGpuoqeRywcmPhEnkNGw44tucYv98YJR86MEFb0P2L7FNJwvuRkWqq2Z9_eK05y6QMkxjhZ3HcbF_rVUP1KHZWf8fmGE3p/s1600/Modelo+exponencial+coronavirus.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Resolviendo una elemental ecuación, para determinar si es posible que toda la población que vive en nuestro país (47 100 396 en el segundo semestre de 2019) se va a infectar, resulta que:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=47100396=8.1693%C2%B7e^{0.3479x}\Rightarrow&space;x=\frac{1}{0.3479}%C2%B7Ln\left&space;(&space;\frac{47100396}{8.1693}&space;\right&space;)\cong&space;48" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?47100396=8.1693·e^{0.3479x}\Rightarrow&space;x=\frac{1}{0.3479}·Ln\left&space;(&space;\frac{47100396}{8.1693}&space;\right&space;)\cong&space;48" title="47100396=8.1693·e^{0.3479x}\Rightarrow x=\frac{1}{0.3479}·Ln\left ( \frac{47100396}{8.1693} \right )\cong 48" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Es decir, el 12 de abril estaremos todos infectados (el refrán español de aquí a 100 años todos calvos, tiene una versión vírica con 48 días).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Pero si el lector trata de extrapolar la función para ver cuál es su predicción con la población mundial, el 24 de abril estaríamos todos <i>coronados.</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<ol>
</ol>
<o:p></o:p><br />
<div class="MsoListParagraph" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<o:p></o:p></div>
<br /></div>
</div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-3920863241102379382018-07-13T09:55:00.001+02:002018-07-13T09:55:41.184+02:00Peinando remolinos<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Mi querida madre siempre ha asociado los remolinos en el pelo, con lo bendito del niño; si fuese matemática diría que los remolinos son prueba evidente de lo "malo" que es. Pero tengo que quitarle algo de razón, pues los remolinos tienen una explicación matemática que voy a tratar de explicar en este post veraniego.</span></div>
<div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><div>
<span style="font-size: large;"><img alt="remolino cabello bebé" src="https://supercurioso.com/wp-content/uploads/2015/01/remolinocabellobebe.jpg" /></span><div>
<div style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: justify;">
</div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Supongamos que nuestra cabeza es una esfera, y nos planteamos el objetivo </span><span style="font-size: large;"> de </span><span style="font-size: large;">peinarnos (entendiendo por tal alisar el pelo). Cada pelo, puede considerarse tangente a la cabeza y si dos pelos están próximos, sus direcciones han de ser "parecidas". Esta idea que en Matemáticas se expresa en términos de continuidad, es imposible, y el resultado que lo afirma se conoce con el llamativo nombre de </span><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_bola_peluda" style="font-size: x-large;">Teorema de la bola peluda</a><span style="font-size: large;">: llegará un momento, en el que un pelo debe hacer un giro o remolino.</span></div>
<div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Si la Naturaleza sabe o no Matemáticas, es una diatriba que con frecuencia suele ponerse sobre la mesa; lo cierto es que cuando el cuerpo se encuentra con esta disyuntiva, cosa que se produce en el útero materno, no l</span><span style="font-size: large;">e queda otra opción que escaparse con un remolino (y en ocasiones hasta dos). </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">¿Tendrán las mujeres remolinos? claramente el Teorema enlazado anteriormente nos dice que sí, lo que ocurre que al llevar el pelo más largo, no se aprecian.</span></div>
<div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-size: large;">Una opción para ir "bien peinados" es hacerse la raya, con lo que se transgrede la idea de continuidad (pelo cercanos a ambos lados de la raya, tienen direcciones opuestas).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://pbs.twimg.com/profile_images/685922306137427968/RTsgUIbg_400x400.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Resultado de imagen de puigdemont pelo" border="0" src="https://pbs.twimg.com/profile_images/685922306137427968/RTsgUIbg_400x400.jpg" /></a></div>
<div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Pero el resultado, al margen de quitar hierro al asunto de los remolinos, tienen diferentes aplicaciones entre las que se pueden citar la meteorología o la Informática, con lo que los <i>prácticos</i> se habrán puesto más que contentos.</span></div>
<div>
<div>
<br /></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-39747923096971928292017-12-23T18:06:00.001+01:002017-12-23T18:06:57.863+01:00No me ha vuelto a tocar la Lotería<br />
<div style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: justify;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: justify;">
</div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Viendo que ayer nadie saltaba de alegría a mi alrededor, hoy me quedaba el consuelo de que alguno de los dos números que había comprado estuviese agraciado con una pedrea. Pero ni eso...</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Hace días que llevo viendo artículos de múltiples colegas hablando sobre la probabilidad de que seamos agraciados con el <i>gordo</i> de la Lotería de Navidad, y en vista de que, nuevamente, ayer fue el día <i>de la Salud , </i>me he decidido a escribir sobre este fenómeno social que mueve a España un 22 de diciembre.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">A vueltas con la Historia, nuestra Lotería Nacional data de 1763, cuando Carlos III importa un modelo arraigado en Nápoles, y que se llamaba <i>Lotería Primitiva</i>. Pero el sistema actual, hay que situarlo en 1811, donde la maltrecha Hacienda gubernamental, propició la creación de "<i>un medio de aumentar los ingresos del erario público sin quebranto de los contribuyentes</i>", teniendo lugar en Cádiz el primer sorteo el 4 de marzo de 1812.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.abc.es/Media/201310/14/decimo-1812-loteria--644x362.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="222" src="http://www.abc.es/Media/201310/14/decimo-1812-loteria--644x362.jpg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y con esa filosofía, el actual sistema por el que se rige la Lotería Nacional destina, en el caso del sorteo de Navidad, el 70% de la recaudación a premios. Dicho de otro modo, el 30% restante se queda en casa: un 25% para Hacienda y el 5% restante para Loterías y Apuestas del Estado, en concepto de gastos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Pero desde 2013, por si fuese poco, los premios superiores a 2500€ están gravados con un 20% de retención en concepto de IRPF. Por este motivo, el primer premio dotado con 400 000€ se quedaría en 2500+397 500*0.8=320 500€</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Veamos cómo es la distribución de los premios:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="width: 100%px;">
<colgroup><col width="32*"></col>
<col width="35*"></col>
<col width="189*"></col>
</colgroup><tbody>
<tr>
<th bgcolor="#eaecf0" width="13%">
<div align="CENTER" style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">
Cantidad</span></span></div>
</th>
<th bgcolor="#eaecf0" width="14%">
<div align="CENTER" style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">
Premio al número (€)</span></span></div>
</th>
<th bgcolor="#eaecf0" width="74%">
<div align="CENTER" style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">
Descripción</span></span></div>
</th>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">1</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">400 000 </span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;"><i>El
Gordo</i> Primer Premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">1</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">125 000</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">Segundo
Premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">1</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">50 000</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">Tercer
Premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">2</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">20 000</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">Cuarto
Premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">8</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">6 000</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">Quinto
Premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">1794</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">100</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<i style="background-color: #eaecf0;"><span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;">La Pedrea</span></i></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">2</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">2 000</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A los
números anterior y posterior al primer premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">2</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">1 250</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A los
números anterior y posterior al segundo premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">2</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">960</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A los
números anterior y posterior al tercer premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">99</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">100</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A la centena
(tres primeras cifras) del primero premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">99</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">100</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A la centena
(tres primeras cifras) del segundo premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">99</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">100</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A la centena
(tres primeras cifras) del tercer premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">198</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">100</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A la centena
(tres primeras cifras) de los cuartos premios</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">999</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">100</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A los
números cuyas dos últimas cifras coincidan con las del primer
premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">999</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">100</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A los
números cuyas dos últimas cifras coincidan con las del segundo
premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">999</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">100</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">A los
números cuyas dos últimas cifras coincidan con las del tercer
premio</span></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td width="13%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">9999</span></span></div>
</td>
<td width="14%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">20</span></span></div>
</td>
<td width="74%">
<div style="border: 1px solid #a2a9b1; padding: 0.05cm;">
<span style="color: #222222; font-family: sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: #eaecf0;">Reintegro a
los números cuya última cifra coincida con la del primer premio</span></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">La suma de la primera columna, arroja que el número de boletos agraciados es de 15 304, y por consiguiente, la probabilidad de obtener un premio es 15304/100 000=0,15304. O dicho de otra forma, aproximadamente el 85% de los billetes comprados irán directamente a la basura. Es por lo tanto bastante normal que mis 40€ hayan sido malgastados; aunque si Hacienda somos todos, he contribuido a la misma con 10€. Pero no sólo esto; los premios no repartidos son también ingresados en las arcas del Estado.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.lavanguardia.com/r/GODO/LV/p3/WebSite/2016/12/20/Recortada/img_gmartin_20161220-010205_imagenes_lv_otras_fuentes_bombosss-kH0F-U412742074651VcD-992x558@LaVanguardia-Web.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Resultado de imagen de bombo loteria navidad" border="0" height="224" src="http://www.lavanguardia.com/r/GODO/LV/p3/WebSite/2016/12/20/Recortada/img_gmartin_20161220-010205_imagenes_lv_otras_fuentes_bombosss-kH0F-U412742074651VcD-992x558@LaVanguardia-Web.jpg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y si ayer tenía ilusión por el <i>gordo, </i>la probabilidad de que me hubiese tocado es de </span><span style="font-size: large; text-align: center;">1/100 000=0.00001, </span><span style="font-size: large;">lo que explica que me encuentre igual de </span><span style="font-size: large;"><i>rico</i></span><i style="font-size: x-large;">.</i></div>
<div style="text-align: justify;">
<i><span style="font-size: large;"><br /></span></i></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">La sabiduría popular nos recuerda que, la suerte no es para el que la busca, sino para el que la encuentra. Y en ello sigo.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-44836516637125536042017-05-22T06:26:00.001+02:002017-05-22T06:26:58.108+02:00Cobertura de invernaderos con superficies regladas trigonométricas<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">En las pasadas <a href="http://17jaem.semrm.com/"><b>JAEM celebradas Cartagena</b></a> (julio de 2015) tuve la ocasión de asistir a un taller sobre superficies regladas en la Sagrada Familia impartido por Xavier Vilella Miró y Albert Martín
López. Entre las distintas cuestiones que trataron, la que me suscitó un mayor interés, fueron unas superficies sinusoidales que Gaudí construyó en unas dependencias anexas al Templo.</span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><img src="https://www.etsav.upc.edu/cairat/cat/lini/lt18-esco.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" /></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Imagen tomada de http://www.etsav.upc.edu/cairat/esp/lini/lt18-esco.htm<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">Su capacidad para desalojar el agua de la lluvia, hace de ellas una opción elegante y práctica como cobertura de edificios. Mi abstracción, hizo que las eligiese como candidatas para las estructuras que inundan la tierra almeriense, los invernaderos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">De forma periódica, ante grandes precipitaciones, estas explotaciones agrícolas suelen deteriorarse (cuando no hundirse) a causa de estos agentes atmosféricos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">Y la ocasión para seguir estudiando sobre ellas, vino de la mano de Esther Giménez y Juan Gisbert, profesores y organizadores del <b><a href="http://cms.ual.es/UAL/universidad/serviciosgenerales/otri/noticias/NOTICIA616IVCERTAMENAMBIENTALES">Certamen de proyectos educativos de Ciencias Ambientales en la Universidad de Almería</a>. </b></span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">Junto a mis alumnos de 4º de ESO en el IES Ciudad de Dalías, y puesto que teníamos que empezar con el bloque de Análisis dedicado a las funciones, me enfrasqué en un proyecto que demostrara la viabilidad de estas coberturas, constituyendo una alternativa realista a las que actualmente se realizan.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">Para entrar en materia y situar al lector, empecemos por la definición:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: white; text-align: start;">"Una </span><span style="background-color: white; text-align: start;">superficie reglada</span><span style="background-color: white; text-align: start;">, en </span>geometría<span style="background-color: white; text-align: start;">, es la generada por una recta, denominada </span><i>generatriz</i><span style="background-color: white; text-align: start;">, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas </span><i>directrices</i><span style="background-color: white; text-align: start;">."</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: white; text-align: start;"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: white; text-align: start;">Consideramos como directriz, la familia de funciones de la forma: </span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: white; text-align: start;"><br /></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;y=asen(bx),&space;\forall&space;a,b\in\mathbb{R}^+" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img height="35" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;y=asen(bx),&space;\forall&space;a,b\in\mathbb{R}^+" title="\large y=asen(bx), \forall a,b\in\mathbb{R}^+" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">Los parámetros a y b, inducen en la función contracciones y dilataciones (vertical y horizontal, respectivamente) que se pueden observar en el siguiente applet de Geogebra</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<iframe height="578px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Z4Kwu8fW/width/1357/height/578/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" style="border: 0px;" title="Contracciones y dilataciones de la función seno" width="1357px"> </iframe>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">Tras consultar con algunos profesionales y familiares que dedican su actividad productiva a la construcción de invernaderos, determinamos analíticamente, que la función que mejor se adaptaba a nuestros objetivos, era y=0.5sen(2.86):</span><br />
<br />
<ul>
<li><span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">La elección a=0.5, hace que el techo entre su valor más bajo y el más alto, tenga una distancia de 1m, lo que supera el espacio de aire que alberga frente a los más comunes, favoreciendo que la temperatura sea más constante a lo largo del año. </span></li>
<li><span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">El valor b=2.86 optimiza el espacio entre los postes verticales que suele ser en torno a los 2.2m. Este valor es la aproximación a dos decimales de 10𝛑/11, que se puede obtener al resolver la ecuación sen(bx)=sen[b(x+2.2)], particularizando para cualquier valor de la variable x, ya que esta restricción supone que la función tenga período 2.2.</span></li>
</ul>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><b>Ventajas de estas coberturas</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><b><br /></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><b></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">1. Garantizan el desplazamiento de la totalidad del agua de lluvia a la zona cóncava.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">2. Los invernaderos tradicionales, no suelen tener pendiente en su techo, sino que es el suelo al que se le imprime la misma. Nuestra propuesta, pretende que el techo tenga una pendiente del 1%, en la dirección de las generatrices, que permite:</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"> i. Hacer converger todo el agua hacia uno de los lados del invernadero, canalizándola hacia una balsa, y realizando un aprovechamiento total de la misma, sin necesidad de canalones. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"> ii. Instalar en la zona más alta, aspersores conectados a un sistema de detección de peso sobre el techo. De esta forma, si se acumulase una cantidad que hiciera peligrar la estructura, los aspersores se podrían activar, derritiendo el granizo y canalizando todo el agua hacia la balsa al efecto. Otro de las utilidades de los aspersores, sería disminuir la temperatura de la techumbre en verano, pues el agua que se emplea es reutilizada (salvo evaporación).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"> iii. La instalación de ventanas cenitales, en el sentido de las directrices, abiertas en la zona más alta, favorece que el aire caliente sea expulsado con mucha mayor facilidad. Los actuales invernaderos, suelen tener dichas ventanas abiertas hacia la dirección desde la que el aire sopla más fresco, pero no tienen mucha utilidad si la dirección del viento no es esta. </span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">4. El sistema de montaje, se basa en una misma pieza que se une a las siguientes mediante ensambles y sin necesidad de soldadura.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8B88Dz-8pVtOS3uyAMo-y28Xn3Q4DqR7Kq12ay9ScPk3irD_SZjn1oDhi9VF7nHGV8EQIhI2X44hLMCrWPWg9UXx1SKvLuI72G4I9qg4SRNPyrU5J9PZE8tYNa3YTRiJ_fuJXk4SH_KQE/s1600/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="292" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8B88Dz-8pVtOS3uyAMo-y28Xn3Q4DqR7Kq12ay9ScPk3irD_SZjn1oDhi9VF7nHGV8EQIhI2X44hLMCrWPWg9UXx1SKvLuI72G4I9qg4SRNPyrU5J9PZE8tYNa3YTRiJ_fuJXk4SH_KQE/s640/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">En la imagen anterior, la pieza base sería el segmento de la curva comprendido entre los puntos B y C. Los postes verticales que soportan la techumbre, se situaría en los mínimos de la superficie, en el dibujo marcados por A, C y D. La disposición regular de los postes, permite la instalación de una cobertura interior, que evite el exceso de luz y calor sobre las plantas, motorizando su uso, y evitando los periódicos blanqueos a los que los agricultores tienen que hacer frente, y que no tiene ningún efecto si después de aplicarlos llueve (la cal que se emplea, es disuelta por el agua, con el consiguiente perjuicio económico).</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpHbTAt_SlIBJxDIwbV9423Jl00178Xr0FxnJOefxMnqKpJ_B7HVmpAJW-Z7OBEzuJ1hJQw5ohkPshrHrlQuT6UXkBBy68UOaDi99FYXTXLTzCOxjx86ok0v9IfDKFBGYfX6rlP05ItONj/s1600/cubierta+3D+2.0.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="304" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpHbTAt_SlIBJxDIwbV9423Jl00178Xr0FxnJOefxMnqKpJ_B7HVmpAJW-Z7OBEzuJ1hJQw5ohkPshrHrlQuT6UXkBBy68UOaDi99FYXTXLTzCOxjx86ok0v9IfDKFBGYfX6rlP05ItONj/s640/cubierta+3D+2.0.gif" width="640" /></a></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">Completamos el trabajo, con la realización de una maqueta del diseño, usando palillos que simulan los alambres que tradicionalmente se emplean, sobre una piezas realizadas con una cortadora láser (y desde aquí agradezco la ayuda desinteresada y clave del arquitecto Javier Milán, mente inquieta y magnífico profesional). </span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKDPKUjwkIizsjJz9bZMjLbGmn2uU_M5ScOvO6fVYieTz1Mbp_K66tYhZx33KJTIJgXKv0_NhkBtuCGVEDBwQ5RGvvwPumZlhOTBElKB9aM06pAZvJ2q1F9HFWNJHMSj7OlTSucNIfGaVF/s1600/IMG-20170518-WA0005.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="360" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKDPKUjwkIizsjJz9bZMjLbGmn2uU_M5ScOvO6fVYieTz1Mbp_K66tYhZx33KJTIJgXKv0_NhkBtuCGVEDBwQ5RGvvwPumZlhOTBElKB9aM06pAZvJ2q1F9HFWNJHMSj7OlTSucNIfGaVF/s640/IMG-20170518-WA0005.jpg" width="640" /></a></span></div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">
<br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJ6720kYr4315SBSJEaOgiQ59i9WgyHrFnvQQk7kBI4oS90GM4xP0dkY69sv92-696XqLogTkz3G4RkYBNkEIHQF-H-MZyPk5ovTXnyi3ibEVJYAKImaWfMHdGjDZecs-UsWLOUTtP-dtL/s1600/IMG-20170518-WA0007.jpeg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="290" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJ6720kYr4315SBSJEaOgiQ59i9WgyHrFnvQQk7kBI4oS90GM4xP0dkY69sv92-696XqLogTkz3G4RkYBNkEIHQF-H-MZyPk5ovTXnyi3ibEVJYAKImaWfMHdGjDZecs-UsWLOUTtP-dtL/s640/IMG-20170518-WA0007.jpeg" width="640" /></a></span></div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">
<br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhloflDjQYPYNteY33TznxtdET7UQSYaQUj_YaIRs8XYRfdv8yEt6Xo4WowJ5yn0tkHdJc_zxVt_PCIg6WKfdSkPQgZtM2qruNOLAD6bmsubCU75oWGuAS8qfGFPMHXEzDSqIva__buRnr3/s1600/20170519_001531.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhloflDjQYPYNteY33TznxtdET7UQSYaQUj_YaIRs8XYRfdv8yEt6Xo4WowJ5yn0tkHdJc_zxVt_PCIg6WKfdSkPQgZtM2qruNOLAD6bmsubCU75oWGuAS8qfGFPMHXEzDSqIva__buRnr3/s640/20170519_001531.jpg" width="640" /></a></span></div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4dSvxMHrTach6i922Mcx6sPHp0JBhxwbPCL4iO7QOgcgKKvm4UGrvr5G2TQwCv3EyNdgez8kUDgSi9FhbVt1_dgx24EJ7hU4W-z6Btlff0bAx_YQd1LrYbOpJ_OhW95Ll1MMnzpfq6Uis/s1600/20170519_003656.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4dSvxMHrTach6i922Mcx6sPHp0JBhxwbPCL4iO7QOgcgKKvm4UGrvr5G2TQwCv3EyNdgez8kUDgSi9FhbVt1_dgx24EJ7hU4W-z6Btlff0bAx_YQd1LrYbOpJ_OhW95Ll1MMnzpfq6Uis/s640/20170519_003656.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEia0etOooiy3FErvVmP_eEMwYqHswUkOl68RtUyYnfHUK8oXfrgvEaP_IgUkPk1Ap3s_wBT8ODCZ2U6VL2NjcIrksNnOSMRryRdclQt4OAWhPC2Mf_e0ox9DVLu7z8KDbftDOF5bD0lAoRj/s1600/20170519_003702.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEia0etOooiy3FErvVmP_eEMwYqHswUkOl68RtUyYnfHUK8oXfrgvEaP_IgUkPk1Ap3s_wBT8ODCZ2U6VL2NjcIrksNnOSMRryRdclQt4OAWhPC2Mf_e0ox9DVLu7z8KDbftDOF5bD0lAoRj/s640/20170519_003702.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0EiqJaja4N3uxfNR6sIE7m3NjEXA700fpn91siGHVHDladedmi1hf_jwF1r4msVnqDebwdiL2rykeR8mbyGUseSmRpxmtLxNFVS34johA-vVTu7A_htMZVX7VTWyvgnGyWAd-T-Kx2X9e/s1600/20170519_003718.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0EiqJaja4N3uxfNR6sIE7m3NjEXA700fpn91siGHVHDladedmi1hf_jwF1r4msVnqDebwdiL2rykeR8mbyGUseSmRpxmtLxNFVS34johA-vVTu7A_htMZVX7VTWyvgnGyWAd-T-Kx2X9e/s640/20170519_003718.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Y fruto de todo el trabajo realizado (memoria final, póster y maquetas) fuimos seleccionados para defender el trabajo frente el jurado, junto a otros 5 proyectos, de entre 30 presentados.</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">
<br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3zlSgRvtfgykWvApBI_IpDgQ_nz60Bco6jf2OAsfhGodv3Ns4L3ONgbV4FvltHvu-MXytLRdzfv8HgWfMSA3ER_wvXfbTnfqC52S3ZRL86uVG1ynRsCQnLCfkv3h6wWCDk2RVG6faYNd0/s1600/20170519_093507.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3zlSgRvtfgykWvApBI_IpDgQ_nz60Bco6jf2OAsfhGodv3Ns4L3ONgbV4FvltHvu-MXytLRdzfv8HgWfMSA3ER_wvXfbTnfqC52S3ZRL86uVG1ynRsCQnLCfkv3h6wWCDk2RVG6faYNd0/s640/20170519_093507.jpg" width="640" /></a></span></div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN60S7tb2lArUDw7mbKxZC9bxeibY5knarOnTiSHzg7bmQ8SJo7hNeDC3TqL97GTKq3YRrECG-GpRhHAqhRUg3W4K-jq_HGGnfdAfv2zv1V421lG4FYRZV4pbN-nbNSCInhcCoqkV5BNAH/s1600/20170519_122917.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN60S7tb2lArUDw7mbKxZC9bxeibY5knarOnTiSHzg7bmQ8SJo7hNeDC3TqL97GTKq3YRrECG-GpRhHAqhRUg3W4K-jq_HGGnfdAfv2zv1V421lG4FYRZV4pbN-nbNSCInhcCoqkV5BNAH/s640/20170519_122917.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Momento de la exposición del trabajo. De izquierda a derecha: Natalia, Rosa y Elisa</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgU-C7dk0J3lbpHFXEAd4Qp9D0LTzStSFBJlXH4ZMnJ6rlBDLtUmWO-2FY5MPHwVRBpMl2fZaun4BkyoEMNHdN63DVw-EZZyqUlvsdlTy7oz3aFNaOFwgn6OZmzmYllJUa1he9PB50gDRx-/s1600/20170519_092201.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgU-C7dk0J3lbpHFXEAd4Qp9D0LTzStSFBJlXH4ZMnJ6rlBDLtUmWO-2FY5MPHwVRBpMl2fZaun4BkyoEMNHdN63DVw-EZZyqUlvsdlTy7oz3aFNaOFwgn6OZmzmYllJUa1he9PB50gDRx-/s640/20170519_092201.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
El fallo del jurado, nos otorgó el <b>segundo premio</b>, que hizo las delicias de los alumnos.</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8XAXHRoELpQb0xWNcbpHHnS-RnGvrLddsX3yduNu_5p95UGvDUredDpmaWWFml2Ei-tJ0P8FKT0NdnGHQnhHMDtVzO67q3hbufztAgQRViMsqquowty1X3zbUr4GMBql9oDstXPIt4lns/s1600/20170519_142103_001.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8XAXHRoELpQb0xWNcbpHHnS-RnGvrLddsX3yduNu_5p95UGvDUredDpmaWWFml2Ei-tJ0P8FKT0NdnGHQnhHMDtVzO67q3hbufztAgQRViMsqquowty1X3zbUr4GMBql9oDstXPIt4lns/s640/20170519_142103_001.jpg" width="640" /></a></span></div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">
</span>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><b><br /></b></span></div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">
<div style="text-align: center;">
<b>Conclusiones</b></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br /></b></div>
</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">1. La superficie modelizada, permite recoger todas las precipitaciones, tanto líquidas como sólidas.</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">2. Al ser diferenciable, minimiza las roturas del plástico alargando su uso y reduciendo los residuos generados por sus frecuentes cambios.</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">3. Permite un mejor control de la temperatura, mejorando el desarrollo de las plantas y de sus frutos.</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">4. Reduce las consecuencias de los agentes atmosféricos, que producen serios destrozos y en ocasiones, el hundimiento de las estructuras.</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: blue; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><b>El agua, un bien <i>escaso</i></b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">Tomando como dato la media de la serie histórica 1981-2010, <b>199.9 l/m²</b>, las 30.007 ha de cultivos invernados de la provincia podrían recoger una cantidad de agua que equivale al <b>29,4%</b> del trasvase Tajo- Segura destinado a riego, o equivalentemente, el vertido del río Ebro al Mar durante casi dos días.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><span style="background-color: white; color: #3a3a3a; font-family: "open sans" , sans-serif; font-size: 21.6px; font-style: italic; text-align: right;">Esta entrada participa en la </span><a href="https://matematicascercanas.com/2017/05/17/edicion-8-4-carnaval-de-matematicas/" rel="noopener noreferrer" style="background-color: white; border: 0px; color: #1e73be; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 21.6px; font-style: italic; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-align: right; text-decoration-line: none; transition: color 0.1s ease-in-out, background-color 0.1s ease-in-out;" target="_blank">Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos”</a><span style="background-color: white; color: #3a3a3a; font-family: "open sans" , sans-serif; font-size: 21.6px; font-style: italic; text-align: right;"> del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, </span><a href="https://matematicascercanas.com/" rel="noopener noreferrer" style="background-color: white; border: 0px; color: #1e73be; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 21.6px; font-style: italic; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-align: right; text-decoration-line: none; transition: color 0.1s ease-in-out, background-color 0.1s ease-in-out;" target="_blank">matematicascercanas</a></span></div>
</div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-37241197984765928372017-04-27T00:23:00.001+02:002017-10-14T07:47:27.349+02:00Un paseo Matemático por la Catedral<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Aunque este post surgió hace varios años, las coincidencias que hacen que los astros se alineen, me han decidido a escribirlo.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">El estudio de las proporciones, aplicado a la Arquitectura, da lugar a bellas composiciones que con el paso del tiempo permanecen olvidadas aunque inalterables en forma de piedra. Este es el caso de un gran número de Catedrales y edificios singulares de los siglos XVI y XVII.</span><br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhESrvV_rx3mjmxC-q1IbssEyAz71kOQD-igH4-QFMFcwbsDSRyTLfXej46DGwVrEg__Z_5k5-zZvdjXnLHFAdAWxjGJN0THpnKkssfD7aMNtbgtL_FGTQdutfM8Qn42XgS61-uY9M9xKW_/s1600/Catedral+con+rectangulos.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhESrvV_rx3mjmxC-q1IbssEyAz71kOQD-igH4-QFMFcwbsDSRyTLfXej46DGwVrEg__Z_5k5-zZvdjXnLHFAdAWxjGJN0THpnKkssfD7aMNtbgtL_FGTQdutfM8Qn42XgS61-uY9M9xKW_/s640/Catedral+con+rectangulos.png" width="482" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Puerta Principal de la Catedral de Almería</span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">El caso que nos ocupa, es la Catedral-Fortaleza de la Encarnación en Almería, Su construcción dio comienzo a partir de 1522 con una doble función: dar amparo moral a los cristianos y protegerlos de las insurrecciones moriscas así como de los piratas berberiscos que asolaban el Mediterráneo. Dado que la construcción del templo finaliza en 1564 por Juan de Orea, incorpora elementos tanto góticos como renacentistas.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">El estilo renacentista, toma muchos y variados ejemplos de la cultura Helénica, como es la utilización del número áureo así comos otro irracionales (<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\sqrt{2}&space;,&space;\sqrt{3}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\sqrt{2}&space;,&space;\sqrt{3}" title="\large \sqrt{2} , \sqrt{3}" /></a>) que dan lugar a rectángulos cuyos lados guardan estas proporciones. </span><span style="font-size: large;">Para la obtención del número de oro, tenemos que recurrir a la división en media y extrema razón de un segmento:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">"Diremos que un segmento se encuentra dividido en media y extrema razón, si la medida mayor es media proporcional entre el total y la parte menor". Es decir, dado un segmento de longitud 1 (suposición que no resta generalidad, pues en otro caso basta con buscar el correspondiente homotético) y la longitud del lado mayor sea x. Entonces:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}\Rightarrow&space;x^{2}=1-x\Rightarrow&space;x^{2}+x-1=0\Rightarrow&space;\Rightarrow&space;x=\frac{1\pm&space;\sqrt{5}}{2}" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}\Rightarrow&space;x^{2}=1-x\Rightarrow&space;x^{2}+x-1=0\Rightarrow&space;\Rightarrow&space;x=\frac{1\pm&space;\sqrt{5}}{2}" title="\large \frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}\Rightarrow x^{2}=1-x\Rightarrow x^{2}+x-1=0\Rightarrow \Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}" /></a></div>
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">De estas dos soluciones, al descartar la negativa, llamamos número de oro a la restante, es decir:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\phi&space;=\frac{1+\sqrt{5}}{2}" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\phi&space;=\frac{1+\sqrt{5}}{2}" title="\large \phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Veamos cómo se realiza la construcción de los rectángulos áureo, es decir, aquellos en los que la razón de sus lados es <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\phi" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\phi" title="\large \phi" /></a>:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Partimos de un cuadrado ABCD, de lado l, y marcamos el punto medio de uno de sus lados, dígase E. Con centro en este punto, y radio la distancia de E a C, trazamos un arco de circunferencia que cortará a la prolongación del lado AB en el punto F. El rectángulo AFGD, es áureo.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHMrdad8O8NyR_Q2BvyhDCm2JCya5P4vjTgF_Dq-4OU1FF8tXyq_si3dg0zYb2aAGcx15yGiOIhIXvtjjgr0f_ky2y0hWYFLVJ1l9a0DWuv3BNCJu4-k6u_vd6GM1db_d0gKyrzjbKA00T/s1600/aureo.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="275" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHMrdad8O8NyR_Q2BvyhDCm2JCya5P4vjTgF_Dq-4OU1FF8tXyq_si3dg0zYb2aAGcx15yGiOIhIXvtjjgr0f_ky2y0hWYFLVJ1l9a0DWuv3BNCJu4-k6u_vd6GM1db_d0gKyrzjbKA00T/s400/aureo.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;">Para demostrar lo que se afirma, basta con calcular la dimensión del lado AF y comprobar que la razón que forma junto al lado AD, es </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\phi" style="font-size: x-large; text-align: justify;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\phi" title="\large \phi" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\overline{EC}^{2}=\left&space;(&space;\frac{l}{2}&space;\right&space;)^{2}+l^{2}\Rightarrow&space;\overline{EC}=\frac{\sqrt{5}l}{2}\Rightarrow&space;\overline{AF}=\overline{AE}+\overline{EF}\Rightarrow&space;\overline{AF}=\overline{AE}+\overline{EC}=\frac{l}{2}+\frac{\sqrt{5}l}{2}=\left&space;(&space;\frac{1+\sqrt{5}}{2}&space;\right&space;)l=\phi&space;l" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\overline{EC}^{2}=\left&space;(&space;\frac{l}{2}&space;\right&space;)^{2}+l^{2}\Rightarrow&space;\overline{EC}=\frac{\sqrt{5}l}{2}\Rightarrow&space;\overline{AF}=\overline{AE}+\overline{EF}\Rightarrow&space;\overline{AF}=\overline{AE}+\overline{EC}=\frac{l}{2}+\frac{\sqrt{5}l}{2}=\left&space;(&space;\frac{1+\sqrt{5}}{2}&space;\right&space;)l=\phi&space;l" title="\large \overline{EC}^{2}=\left ( \frac{l}{2} \right )^{2}+l^{2}\Rightarrow \overline{EC}=\frac{\sqrt{5}l}{2}\Rightarrow \overline{AF}=\overline{AE}+\overline{EF}\Rightarrow \overline{AF}=\overline{AE}+\overline{EC}=\frac{l}{2}+\frac{\sqrt{5}l}{2}=\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )l=\phi l" /></a></div>
<br />
<span style="font-size: large;">Así:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\frac{\overline{AF}}{AD}=\frac{\phi&space;l}{l}=\phi" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\frac{\overline{AF}}{AD}=\frac{\phi&space;l}{l}=\phi" title="\large \frac{\overline{AF}}{AD}=\frac{\phi l}{l}=\phi" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En el caso de los rectángulos </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\sqrt{2}&space;,&space;\sqrt{3}" style="font-size: x-large; text-align: justify;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\sqrt{2}&space;,&space;\sqrt{3}" title="\large \sqrt{2} , \sqrt{3}" /></a>, <span style="font-size: large;">las construcciones son similares, salvo que el centro de la circunferencia es un vértice del cuadrado (en el primer caso) y en el segundo un vértice de un rectángulo cuya base es el doble de la altura.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y para que el lector pueda descubrir los rectángulos anteriores, en el Templo almeriense, sólo tiene que jugar con el siguiente aplet de Geogebra:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<iframe height="584px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/EexbTfcV/width/1150/height/584/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Proporciones notable en la Catedral de Almería" width="1150px"> </iframe>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Los más excépticos, quizá puedan achacarme que el método empleado, no constituye una demostración, pero sigue la misma metodología expuesta por el profesor de la Universidad de Granada Álvaro Martínez Sevilla, en sus <a href="https://lanochedelosinvestigadores.fundaciondescubre.es/actividades/paseo-matematico-por-granada/" style="font-weight: bold;">paseos matemáticos por Granada</a><b>, </b>a quien tuve el gusto de conocer en el V Encuentro de Geogebra celebrado en Málaga y divertirme con sus explicaciones.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">¿Es necesario coger instrumentos de medida para comprobar la presencia de la proporción áurea en los monumentos? La respuesta es no; cuando pases frente a ellos, coje tu DNI (que también es un rectángulo áureo) y cerrando un ojo házlo coincidir con los que aparecen marcados en las fotografías en dorado; verás que son semejantes. Cuando el lector pasee por el centro de su ciudad, ya tiene un nuevo entretenimiento: buscar la proporción áurea. Adelante, que hay bastantes más ejemplos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><em style="background-color: white; color: #333333; font-family: lato, sans-serif;">Este post participa en la <span style="font-style: normal; font-weight: 700;"><a href="http://semillas.konradlorenz.edu.co/2017/04/edici%C3%B3n-83-del-carnaval-de-matem%C3%A1ticas-24-al-30-de-abril-de-2017-carnamat83.html" style="background-color: transparent; color: #620b3e;">Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas</a> </span></em><em style="background-color: white; color: #333333; font-family: lato, sans-serif;">cuyo anfitrión es el <a href="http://semillas.konradlorenz.edu.co/matematicas/" style="background-color: transparent; color: #620b3e;"><span style="font-style: normal; font-weight: 700;">Blog Semillas</span></a></em><a href="http://semillas.konradlorenz.edu.co/matematicas/" style="background-color: white; color: #620b3e; font-family: lato, sans-serif;"><em>.</em></a></span></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-51820284032211304952017-03-04T20:52:00.000+01:002017-03-04T21:19:42.340+01:00Razones trigonométricas<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En la Antigüedad, los matemáticos observaron que dados dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo común (y por lo tanto los otros dos), al dividir entre si los lados en uno de ellos, los resultados no varían si hacemos las divisiones oportunas en el otro. Y estas divisiones, o razones, sólo dependen del ángulo que fijemos como punto de referencia. Puesto que sólo podemos establecer 6 razones al permutar la hipotenusa y los catetos en el numerador y el denominador de la fracción, tenemos 6 razones inmutables.Sea </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\alpha" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\alpha" title="\large \alpha" /></a> <span style="font-size: large;">el ángulo agudo en cuestión. Al cateto que no forma parte del lado del ángulo (b) se le llama cateto opuesto y contiguo al que si forma parte del mismo (c). Denotando por a, a la hiponesusa, podemos dar nombre a estas 6 cantidades: las razones trigonométricas del ángulo </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;\alpha" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\alpha" title="\large \alpha" /></a><span style="font-size: large;">:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhi5suSl8Oe5V3YRWPLlARbULhRR1YhLrbLZeRPcEcUdlnVyomHGL1mN6Xxjj6fu8lBJwKhCSugW2hl2Lwyj0WGWaau9t-QJslHUBxb7mObLgRVQO_dnRmcxmhR6jLbhXh0HqxlJuvlaSqF/s1600/tri.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhi5suSl8Oe5V3YRWPLlARbULhRR1YhLrbLZeRPcEcUdlnVyomHGL1mN6Xxjj6fu8lBJwKhCSugW2hl2Lwyj0WGWaau9t-QJslHUBxb7mObLgRVQO_dnRmcxmhR6jLbhXh0HqxlJuvlaSqF/s400/tri.png" width="400" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;sen\alpha&space;=\frac{cateto&space;\&space;opuesto}{hipotenusa}=\frac{b}{a}\Rightarrow&space;cosec\alpha&space;=\frac{hipotenusa}{cateto&space;\&space;opuesto}=\frac{a}{b}\\&space;cos\alpha&space;=\frac{cateto&space;\&space;contiguo}{hipotenusa}=\frac{c}{a}\Rightarrow&space;sec\alpha&space;=\frac{hipotenusa}{cateto&space;\&space;contiguo}=\frac{a}{c}\\&space;tg\alpha&space;=\frac{cateto&space;\&space;opuesto}{cateto&space;\&space;contiguo}=\frac{b}{c}\Rightarrow&space;cosec\alpha&space;=\frac{cateto&space;\&space;contiguo}{cateto&space;\&space;opuesto}=\frac{c}{b}\\" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;sen\alpha&space;=\frac{cateto&space;\&space;opuesto}{hipotenusa}=\frac{b}{a}\Rightarrow&space;cosec\alpha&space;=\frac{hipotenusa}{cateto&space;\&space;opuesto}=\frac{a}{b}\\&space;cos\alpha&space;=\frac{cateto&space;\&space;contiguo}{hipotenusa}=\frac{c}{a}\Rightarrow&space;sec\alpha&space;=\frac{hipotenusa}{cateto&space;\&space;contiguo}=\frac{a}{c}\\&space;tg\alpha&space;=\frac{cateto&space;\&space;opuesto}{cateto&space;\&space;contiguo}=\frac{b}{c}\Rightarrow&space;cosec\alpha&space;=\frac{cateto&space;\&space;contiguo}{cateto&space;\&space;opuesto}=\frac{c}{b}\\" title="\large sen\alpha =\frac{cateto \ opuesto}{hipotenusa}=\frac{b}{a}\Rightarrow cosec\alpha =\frac{hipotenusa}{cateto \ opuesto}=\frac{a}{b}\\ cos\alpha =\frac{cateto \ contiguo}{hipotenusa}=\frac{c}{a}\Rightarrow sec\alpha =\frac{hipotenusa}{cateto \ contiguo}=\frac{a}{c}\\ tg\alpha =\frac{cateto \ opuesto}{cateto \ contiguo}=\frac{b}{c}\Rightarrow cosec\alpha =\frac{cateto \ contiguo}{cateto \ opuesto}=\frac{c}{b}\\" /></a><br />
<span style="font-size: medium;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Podemos generalizar las razones trigonométricas a cualquier ángulo, identificando la abscisa (x) y la ordenada (y) con el coseno y el seno respectivamente. Y para jugar con todo esto, os dejo este aplet que espero os guste.</span></div>
<iframe height="460px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/RXXyeP4N/width/1100/height/460/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" style="border: 0px;" width="1100px"> </iframe>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-79958040974805018412017-02-12T01:05:00.000+01:002017-02-12T08:33:03.893+01:00Polígonos estrellados<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Esta entrada que hoy he decidido escribir, surgió hace ya algún tiempo, como respuesta a un problema cotidiano: tapar mi piscina desmontable y que la cobertura no se hundiera. Para ello, traté de unir los bastidores con una cuerda que bajo la lona, sostuviese a esta. Ahí descubrí (aunque no fuese el primero) una relación entre la Geometría y el Álgebra, que me llenó de satisfacción y que procedo a describir.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Dado un polígono (sea o no regular), se llama polígono estrellado a la poligonal que une todos sus vértices, sin repetir ninguno y que empieza y termina en uno dado (también daría para hablar sobre grafos...).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Por cuestiones estéticas, supongamos que el polígono de partida es regular y que tiene n vértices, al que denotaremos por </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;P_n" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;P_n" title="\large P_n" /></a> <span style="font-size: large;">siendo sus vértices </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;V_i&space;,con&space;\&space;i\in\left&space;\{&space;1,&space;2,&space;\cdots&space;,&space;n-1&space;\right&space;\}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;V_i&space;,con&space;\&space;i\in\left&space;\{&space;1,&space;2,&space;\cdots&space;,&space;n-1&space;\right&space;\}" title="\large V_i ,con \ i\in\left \{ 1, 2, \cdots , n-1 \right \}" /></a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Si consideramos el conjunto de vértices, podemos definir en él una operación interna, dada por:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;V_i+V_j=V_{(i+j)mod&space;\&space;n}&space;\&space;\forall&space;i,j\in\left&space;\{&space;1,&space;2,&space;...,&space;n-1&space;\right&space;\}" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;V_i+V_j=V_{(i+j)mod&space;\&space;n}&space;\&space;\forall&space;i,j\in\left&space;\{&space;1,&space;2,&space;...,&space;n-1&space;\right&space;\}" title="\large V_i+V_j=V_{(i+j)mod \ n} \ \forall i,j\in\left \{ 1, 2, ..., n-1 \right \}" /></a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Puede comprobarse que al dotar al conjunto de vértices de esta operación e identificar la suma de vértices con una arista, el conjunto pasa a tener estructura de grupo abeliano, y es isomorfo a </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\mathbb{Z}_n" title="\large \mathbb{Z}_n" />.</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Por lo tanto, para cumplir nuestro objetivo, basta con encontrar un generador (o grupo cíclico) del correspondiente Z-módulo. Pero sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un elemento </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;a\in\mathbb{Z}_n" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;a\in\mathbb{Z}_n" title="\large a\in\mathbb{Z}_n" /></a> <span style="font-size: large;">sea un generador es que mcd(a,n)=1. Si a=1 o bien a=n-1, el polígono "estrellado" coincide con el polígono y por lo tanto no será de nuestro "agrado". Usando la notación <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Schl%C3%A4fli"><b>Schäfli</b></a></span><span style="font-size: large;"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Schl%C3%A4fli" style="font-weight: bold;"> </a>, el polígono que surge en </span> <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;P_n" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;P_n" title="\large P_n" /></a> <span style="font-size: large;">al unir dos vértices a distancia d y lo notaremos </span><span style="font-size: large;">{n, d}, es estrellado si y sólo si mcd(n,d)=1. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">¡Una auténtica simbiosis entre la Geometría y el Álgebra! (gracias también por ello, <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois"><b>Galois</b></a>). </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En particular, si n es un número primo, al unir vértices con la misma distancia, obtendremos un polígono estrellado (salvo a distancia 1, que como ya hemos comentado, obtendríamos el propio polígono). </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Para fijar ideas veamos algunos ejemplos:</span><br />
<br />
<ul><ul>
<li><span style="font-size: large;">Para n=3, no se pueden trazar otras aristas que las propias del triángulo, con lo que no surge ningún polígono estrellado.</span></li>
<li><span style="font-size: large;">Para n=4, sólo se tiene la situación no trivial d=2, que nos conduce a una diagonal.</span></li>
<li><span style="font-size: large;">Para n=5 (primo), los valores d=1, 4 nos conducen las mismo pentágono. En cambio para d=2, 4, tenemos el pentágono estrellado.<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhr5THF3cCc1Ky1lTxyDdNmYqNYoSHIYXS4txYzUCmgkjl9admBeuT6Q2Vo7e1X4cz8-Y6JvJTsvkfn5jcb01A0QE8v1Ocyuk73nkU9VWWH18qV8JYkcptdKOjkWz7wb6-aWZ991Vw_bVto/s1600/pentag+estre.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><br /><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhr5THF3cCc1Ky1lTxyDdNmYqNYoSHIYXS4txYzUCmgkjl9admBeuT6Q2Vo7e1X4cz8-Y6JvJTsvkfn5jcb01A0QE8v1Ocyuk73nkU9VWWH18qV8JYkcptdKOjkWz7wb6-aWZ991Vw_bVto/s400/pentag+estre.jpg" width="380" /></a></div>
</span></li>
</ul>
<li><span style="font-size: large;">Para n=7, obtenemos dos polígonos estrellados correspondientes a d=2 y 3</span></li>
</ul>
<span style="font-size: large;"><br /></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxUhUsW-gnOm_r7pqr7YXkBTcdz6_h_0nw-53qTu8b-fzE4zApxi84Frk7PMpnP18tNPlHHvMr2GBaNtbbNHFlRf-R46s2MyEBN9A4lXV2Mx_-H2HWyJCZcB5Bo2yZgR_AM3LWVdTooLDh/s1600/7+estre.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; font-size: x-large; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="360" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxUhUsW-gnOm_r7pqr7YXkBTcdz6_h_0nw-53qTu8b-fzE4zApxi84Frk7PMpnP18tNPlHHvMr2GBaNtbbNHFlRf-R46s2MyEBN9A4lXV2Mx_-H2HWyJCZcB5Bo2yZgR_AM3LWVdTooLDh/s640/7+estre.jpg" width="640" /></a><span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;"> </span><br /><span style="font-size: large;">Y para que los sentidos se deleiten con bellas construcciones, os dejo este aplet de Geogebra, con el que se puede jugar a mover los deslizadores y probar las propiedades que unen la estas dos disciplinas, en apariencia distantes, como son el Álgebra y la Geometría</span></div>
<iframe height="500px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/BdmuJrfU/width/1000/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" style="border: 0px;" width="1000px"> </iframe>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-89567420853803511022017-01-23T05:52:00.000+01:002017-01-23T23:34:50.129+01:00¿Cuántos triángulos ves?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Tengo la suerte de disfrutar de un elenco de alumnos en 1º de ESO, que comparten conmigo el gusto por la resolución de problemas, haciendo suya la frase "<i>a los matemáticos no nos gustan los problemas, si no que nos divertimos intentando resolverlos</i>". En esta línea, el pasado jueves trajeron un problema a clase y lo plantearon al grupo (incluido al que escribe), y el enunciado del mismo es el que da título a esta entrada: <b>¿Cuántos triángulos ves?</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXZMP5cRs-QQNZKGB2LN4DsVZQ1hI1Ii_hn9yOTBd8UD11Q8eU-lbNqlXMzps_mmpNdToM1R1nTMAfOZVpEWB1I7lXFd8Qk0jgVsDjfxt_Rolne9UPujB4VGFVbEWxZhT_PjM9GfT9MJex/s1600/triangulos.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXZMP5cRs-QQNZKGB2LN4DsVZQ1hI1Ii_hn9yOTBd8UD11Q8eU-lbNqlXMzps_mmpNdToM1R1nTMAfOZVpEWB1I7lXFd8Qk0jgVsDjfxt_Rolne9UPujB4VGFVbEWxZhT_PjM9GfT9MJex/s400/triangulos.png" width="384" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">No cuesta mucho esfuerzo realizar el conteo de los mismos, para darse cuenta que en total hay 24 (es por si solo un ejercicio que recomiendo a cualquiera que le apetezca disfrutar un rato en el intento).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Pero lo que me parece más atrayente es encontrar un método que permita saber de antemano cuántos hay buscando patrones. En esta figura, aparecen dos tipos:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Tipo 1:</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyyEeGyoBQvuq7mjTeGF3cd3SsUsrZJXBneLq5F4MUxbXLLITJ-sHnaJI2nr9PNUIa5hh1ejLxD8iM7Aslh-kOS1ecip74D9_l8Qq0Fjso8yNXGn8rU_ZL19himE3eu_dII2uOOElYJF83/s1600/tipo+1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="329" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyyEeGyoBQvuq7mjTeGF3cd3SsUsrZJXBneLq5F4MUxbXLLITJ-sHnaJI2nr9PNUIa5hh1ejLxD8iM7Aslh-kOS1ecip74D9_l8Qq0Fjso8yNXGn8rU_ZL19himE3eu_dII2uOOElYJF83/s400/tipo+1.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Se trata de un triángulo en el que hemos trazado paralelas a la base desde puntos de los lados que no la contienen. Claramente, habrá tantos triángulos como paralelas más el original. De esta forma, si hemos trazado n paralelas, el número de triángulos será <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;t_n=n+1" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;t_n=n+1" title="\large t_n=n+1" /></a>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Tipo 2:</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMFI3VLJ3dKmBdj9U5TsjXGRN3awyA_GVqVCYDq_7wmmiqQbvip8S9AyQDz7eakptNutgOJa6yHbQ4MiSxEBGEOD3XYOLtYSyilwBrOejinctrw17Rg2sS2weYvrLxT6vwbMU3Foaa0On7/s1600/tipo2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMFI3VLJ3dKmBdj9U5TsjXGRN3awyA_GVqVCYDq_7wmmiqQbvip8S9AyQDz7eakptNutgOJa6yHbQ4MiSxEBGEOD3XYOLtYSyilwBrOejinctrw17Rg2sS2weYvrLxT6vwbMU3Foaa0On7/s400/tipo2.png" width="345" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Es el más jugoso en cuanto a las cuentas y además el número de triángulos que aparecen es también recursivo, pues al añadir una nueva ceviana (recta que parte de un vértice e incide sobre el lado opuesto) el número de triángulos será la suma de los obtenidos con una ceviana menos y los nuevos que se formen. Para fijar ideas, llamando <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_n" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;T_n" title="\large T_n" /></a> al número de triángulos que aparecen al trazar n cevianas tenemos:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_0=1&space;\\&space;T_1=T_0+2=1+2=3&space;\\&space;T_2=T_1+3=3+3=6&space;\\&space;T_3=T_2+4=6+4=10&space;\\&space;T_4=T_3+5=10+5=15\\&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;T_0=1&space;\\&space;T_1=T_0+2=1+2=3&space;\\&space;T_2=T_1+3=3+3=6&space;\\&space;T_3=T_2+4=6+4=10&space;\\&space;T_4=T_3+5=10+5=15\\&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots&space;\cdots" title="\large T_0=1 \\ T_1=T_0+2=1+2=3 \\ T_2=T_1+3=3+3=6 \\ T_3=T_2+4=6+4=10 \\ T_4=T_3+5=10+5=15\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots" /></a> </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Si observamos los primeros valores (1, 3, 6, 10, 15,...) podemos comprobar que la sucesión, es una progresión aritmética de segundo orden con diferencia 1, con lo que el término general vendrá dado por:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_n=\frac{n^2+3n+2}{2}" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;T_n=\frac{n^2+3n+2}{2}" title="\large T_n=\frac{n^2+3n+2}{2}" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Vamos a usar el Principio de inducción para probar esta afirmación sobre el término general:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<ul>
<li><span style="font-size: large;">Para </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_0=\frac{0^2+3\cdot&space;0+2}{2}=1" style="text-align: justify;" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;T_0=\frac{0^2+3\cdot&space;0+2}{2}=1" title="\large T_0=\frac{0^2+3\cdot 0+2}{2}=1" /></a></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Supongamos cierto para un natural n que </span><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_n=\frac{n^2+3n+2}{2}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;T_n=\frac{n^2+3n+2}{2}" title="\large T_n=\frac{n^2+3n+2}{2}" /></a></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Queremos comprobar que: </span></li>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=\frac{(n+1)^2+3(n+1)+2}{2}=\frac{n^2+5n+6}{2}" target="_blank"></a><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=\frac{(n+1)^2+3(n+1)+2}{2}=\frac{n^2+5n+6}{2}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;T_{n+1}=\frac{(n+1)^2+3(n+1)+2}{2}=\frac{n^2+5n+6}{2}" title="\large T_{n+1}=\frac{(n+1)^2+3(n+1)+2}{2}=\frac{n^2+5n+6}{2}" /></a></div>
</ul>
<span style="font-size: large;">De esta forma: </span><br />
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" target="_blank"><br /></span>
<a href="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" title="\large T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\ =\frac{n^2+5n+6}{2}" /></a><span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"></span><br />
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><br /></span></span>
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><br /></span></span>
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><br /></span></span>
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><br /></span></span>
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><br /></span></span>
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><br /></span></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank">Lo que prueba la afirmación sobre el término general (nótese que n+2 es el número de triángulos nuevos que surgen al tratar una ceviana más).</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span a="" href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;T_{n+1}=T_n+(n+2)=\frac{n^2+3n+2}{2}+(n+2)=\frac{n^2+3n+2+2(n+2)}{2}=\\&space;=\frac{n^2+5n+6}{2}" style="font-size: large;" target="_blank"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Volviendo sobre la propuesta inicial, <b>nuestra figura está compuesta de dos de tipo 1</b> (los triángulos FGA y AGC) <b>y tres de tipo 2 </b>(los triángulos BFG, BAG y BAC), con lo que podemos contrastar que el número de triángulos es:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;2%C2%B7t_1+3%C2%B7t_2=2%C2%B7(2+1)+3%C2%B7(\frac{2^2+3\cdot&space;2+2}{2})=24" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;2·t_1+3·T_2=2·(2+1)+3·(\frac{2^2+3\cdot&space;2+2}{2})=24" title="\large 2·t_1+3·t_2=2·(2+1)+3·(\frac{2^2+3\cdot 2+2}{2})=24" /></a>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit; font-size: large;"><span style="background-color: white; color: #4f4f4f; font-style: italic;">Este post participa en la </span><strong style="background-color: white; border: 0px; color: #4f4f4f; font-stretch: inherit; font-style: italic; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; text-align: start; vertical-align: baseline;"><a href="http://www.imus.us.es/blogdim/2017/01/carnamat7x/" style="border: 0px; color: #16a1a4; font-stretch: inherit; font-style: inherit; font-variant: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; text-decoration: none; vertical-align: baseline;">Edición 7.X del <em style="border: 0px; font-stretch: inherit; font-variant: inherit; font-weight: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Carnaval de Matemáticas</em></a></strong><span style="background-color: white; color: #4f4f4f; font-style: italic;"> cuyo anfitrión es el </span><a href="http://www.imus.us.es/blogdim/" style="background-color: white; border: 0px; color: #16a1a4; font-stretch: inherit; font-style: italic; font-variant-numeric: inherit; font-weight: 600; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; text-align: start; text-decoration: none; vertical-align: baseline;">Blog del IMUS</a><span style="background-color: white; color: #4f4f4f; font-style: italic;">.</span></span></div>
</div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-49580847625926685642017-01-15T20:29:00.001+01:002017-01-17T19:23:38.916+01:00Come migas por tu lado <div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En esta tierra que me vio nacer, Almería, existe una arraigada costumbre de comer migas los días lluviosos (esto no es óbice para degustarlas un 15 de julio con 40 grados a la sombra). Aunque no voy a entrar en la terminología que recoge el plato (como por ejemplo qué es una paila o la rasera) ni en los secretos culinarios que encierra este manjar tan apreciado, su receta se puede consultar <b><a href="http://recetasamares.blogspot.com.es/2011/03/migas-almerienses.html">aquí</a>.</b></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXS6kJO5IQISwqr0UCLOkkeuPR-bTj75N4HqSKtwJpvO_bTtaPebatPGnXrIAEbb4kyrWJAN1ZseGuYn62M5Y17RrYoINV26V2lcuverGNZ-PwDkh810som-AIwFMZH_GPyCxrFiic6TJ5/s1600/migas-almeria-1024x765.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="476" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXS6kJO5IQISwqr0UCLOkkeuPR-bTj75N4HqSKtwJpvO_bTtaPebatPGnXrIAEbb4kyrWJAN1ZseGuYn62M5Y17RrYoINV26V2lcuverGNZ-PwDkh810som-AIwFMZH_GPyCxrFiic6TJ5/s640/migas-almeria-1024x765.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Paila de migas con el acompañamiento, entre el que no faltan los boquerones</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Es tradición comer directamente de la paila, cuando el plato se prepara en el campo o en compañía de amigos, por lo que se usa con frecuencia la frase ¿cuándo hemos comido migas juntos? para mostrar la distancia entre dos conocidos cuando uno de ellos se toma alguna licencia.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Pero es otra la frase que da pie a esta entrada, <i><b>Come migas por tu lado</b></i> (que si la pronuncio, diría <i>lao</i>) la que motiva la misma: ¿cuál es mi lado?</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Supongamos que la paila es una circunferencia C, de centro el punto O y nos encontramos sentados en el punto P. Queremos encontrar el punto P' de C, por el que introducir la cuchara. Claramente P' debe ser el punto de C más proximo a P y se obtiene intersecando la recta que pasa por O y P con C. Como estamos sentados fuera de la paila, P es exterior a C, con lo que la intersección de la recta OP con C, nos proporciona dos puntos: P', el más próximo a P y P'' el más alejado. En efecto, si Q es un punto de C distinto de P' y P'', tenemos la situación que muestra el siguiente dibujo:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBAyyoEfhzIq4DOoMQckEKjIfKbNExPFalS2lb3Nhu8HWnTpjKPKeItRPeHnk9N9OvMlz182DRjJ8_INOR4K8r-v7aCS0nCEp-dfleuV_uHuXVAVS_EH0oimZTN-DqwH2-H3U_Hf6cn4n3/s1600/Circunferencia.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="387" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBAyyoEfhzIq4DOoMQckEKjIfKbNExPFalS2lb3Nhu8HWnTpjKPKeItRPeHnk9N9OvMlz182DRjJ8_INOR4K8r-v7aCS0nCEp-dfleuV_uHuXVAVS_EH0oimZTN-DqwH2-H3U_Hf6cn4n3/s640/Circunferencia.png" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span class="mi" id="MathJax-Span-173" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-174" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-175" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-176" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-177" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">O</span><span class="mo" id="MathJax-Span-178" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-179" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">=</span><span class="mi" id="MathJax-Span-180" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-181" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-182" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-183" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-184" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="texatom" id="MathJax-Span-185" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-186" style="border: 0px; display: inline; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mo" id="MathJax-Span-187" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_SansSerif-italic; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">'</span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-188" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-189" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.208em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">+</span><span class="mi" id="MathJax-Span-190" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.208em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-191" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-192" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="texatom" id="MathJax-Span-193" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-194" style="border: 0px; display: inline; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mo" id="MathJax-Span-195" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_SansSerif-italic; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">'</span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-196" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-197" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">O</span><span class="mo" id="MathJax-Span-198" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-199" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><</span><span class="mi" id="MathJax-Span-200" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-201" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-202" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-203" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-204" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">Q</span><span class="mo" id="MathJax-Span-205" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-206" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.208em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">+</span><span class="mi" id="MathJax-Span-207" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.208em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-208" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-209" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">Q</span><span class="mo" id="MathJax-Span-210" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-211" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">O</span><span class="mo" id="MathJax-Span-212" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-213" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">⇒</span><span class="mi" id="MathJax-Span-214" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-215" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-216" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-217" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">,</span><span class="msup" id="MathJax-Span-218" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 0px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; transition: none; vertical-align: 0px; width: 1.083em;"><span style="border: 0px; clip: rect(3.192em 1000.77em 4.169em -999.997em); left: 0em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -4.01em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-219" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 4.015em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span><span style="border: 0px; left: 0.826em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -4.421em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mo" id="MathJax-Span-220" style="border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 13.7441px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">′</span><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 4.015em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-221" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-222" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><</span><span class="mi" id="MathJax-Span-223" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-224" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-225" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-226" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-227" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">Q</span><span class="mo" id="MathJax-Span-228" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span class="mo" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span class="mo" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;">Finalmente</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span class="mo" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span class="mo" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><span class="mi" id="MathJax-Span-235" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-236" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-237" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-238" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="msup" id="MathJax-Span-239" style="border: 0px; display: inline; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 0px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; transition: none; vertical-align: 0px; width: 1.289em;"><span style="border: 0px; clip: rect(3.192em 1000.77em 4.169em -999.997em); left: 0em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -4.01em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-240" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 4.015em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span><span style="border: 0px; left: 0.826em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -4.421em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mo" id="MathJax-Span-241" style="border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 13.7441px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">′′</span><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 4.015em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-242" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-243" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">=</span><span class="mi" id="MathJax-Span-244" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-245" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-246" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-247" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-248" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">O</span><span class="mo" id="MathJax-Span-249" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-250" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.208em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">+</span><span class="mi" id="MathJax-Span-251" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.208em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-252" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-253" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">O</span><span class="mo" id="MathJax-Span-254" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="msup" id="MathJax-Span-255" style="border: 0px; display: inline; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 0px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; transition: none; vertical-align: 0px; width: 1.289em;"><span style="border: 0px; clip: rect(3.192em 1000.77em 4.169em -999.997em); left: 0em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -4.01em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-256" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 4.015em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span><span style="border: 0px; left: 0.826em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -4.421em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mo" id="MathJax-Span-257" style="border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 13.7441px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">′′</span><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 4.015em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-258" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-259" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">=</span><span class="mi" id="MathJax-Span-260" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-261" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-262" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-263" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-264" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">O</span><span class="mo" id="MathJax-Span-265" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-266" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.208em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">+</span><span class="mi" id="MathJax-Span-267" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.208em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-268" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-269" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">O</span><span class="mo" id="MathJax-Span-270" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-271" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">Q</span><span class="mo" id="MathJax-Span-272" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-273" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">></span><span class="mi" id="MathJax-Span-274" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-275" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-276" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-277" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-278" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">Q</span><span class="mo" id="MathJax-Span-279" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-280" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">⟹</span><span class="mi" id="MathJax-Span-281" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-282" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-283" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-284" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="msup" id="MathJax-Span-285" style="border: 0px; display: inline; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 0px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; transition: none; vertical-align: 0px; width: 1.289em;"><span style="border: 0px; clip: rect(3.192em 1000.77em 4.169em -999.997em); left: 0em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -4.01em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-286" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 4.015em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span><span style="border: 0px; left: 0.826em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -4.421em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mo" id="MathJax-Span-287" style="border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; font-size: 13.7441px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">′′</span><span style="border: 0px; display: inline-block; height: 4.015em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-288" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">)</span><span class="mo" id="MathJax-Span-289" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">></span><span class="mi" id="MathJax-Span-290" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.26em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">d<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.003em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-291" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">(</span><span class="mi" id="MathJax-Span-292" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">P<span style="border: 0px; display: inline-block; height: 1px; line-height: normal; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.105em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-293" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mi" id="MathJax-Span-294" style="border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math-italic; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.157em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">Q</span><span class="mo" id="MathJax-Span-295" style="border: 0px; display: inline; font-size: 19.44px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">)</span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span class="mo" style="background-color: white; border: 0px; display: inline; font-family: "mathjax_main"; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap;"><span style="font-size: large;"><br /></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ahora que ya sabemos por dónde introducir la cuchara, falta el día lluvioso para acompañar a las ricas migas con los inexcusables boquerones ¿Te gusta la propuesta?</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; border: 0px; display: inline-block; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 19.44px; height: 0px; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; text-align: center; transition: none; vertical-align: 0px; white-space: nowrap; width: 23.048em;"><span style="border: 0px; clip: rect(0.928em 1023.05em 2.832em -999.997em); left: 0em; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -2.158em; transition: none; vertical-align: 0px;"><br /></span></span></div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-70409459000874365142017-01-08T17:40:00.000+01:002017-01-08T17:40:35.245+01:00La Geometría al servicio de la moda: La pata de gallo<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Algunos de los diseños que pueblan los tejidos con los que los diseñadores marcan las tendencias de la moda, están íntimamente ligados con ciertas construcciones matemáticas. Hoy, me voy a referir a los conocidos como <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Pata_de_gallo_(dise%C3%B1o)">pata de gallo</a>, </b>que desde hace algún tiempo abundan en los escaparates. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhudGQxwBo-J2rUqYS32UyeXfoeIjIgkt1T43KbZZoFbaCKVHKbTs1YmFXiJMfajk8YHoMWo9ofb9mi1swmB_IqpZvejzASvmLKmfIpkFg0t4AjSp6IVMnNVpv5lKT_lgbYgxkQQ7hivBcl/s1600/Inspi-pata-gallo-9.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="424" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhudGQxwBo-J2rUqYS32UyeXfoeIjIgkt1T43KbZZoFbaCKVHKbTs1YmFXiJMfajk8YHoMWo9ofb9mi1swmB_IqpZvejzASvmLKmfIpkFg0t4AjSp6IVMnNVpv5lKT_lgbYgxkQQ7hivBcl/s640/Inspi-pata-gallo-9.jpg" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y precisamente es lo que me pasó el otro día: vi una prenda de ropa con este motivo, y me propuse desentrañar su construcción. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Se trata de un mosaico periódico, cuyo tesela se genera a partir de un cuadrado, que se subdivide en otros 16 cuadrados congruentes. Trazando la poligonal del dibujo y trasladando esta, obtenemos la pieza que se va a repetir, la tesela. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh92-DSreA7kmP7coXTlZPQ7t6uGtbzrmcuUyuSPSeqQpAB3rrPbiejkvdZ9Xa_L3wHZC3_u0jUaw5_BcB5AuV_PK2mouT-DOb0W7wed2bfW5ZpAtAvXJPMuLNLcOJyGFrWZUR-f7NGUkGA/s1600/tesela.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="404" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh92-DSreA7kmP7coXTlZPQ7t6uGtbzrmcuUyuSPSeqQpAB3rrPbiejkvdZ9Xa_L3wHZC3_u0jUaw5_BcB5AuV_PK2mouT-DOb0W7wed2bfW5ZpAtAvXJPMuLNLcOJyGFrWZUR-f7NGUkGA/s640/tesela.png" width="640" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y ahora basta con repetirla en direcciones perpendiculares entre si (nótese, que las teselas blancas, se generan por los huecos que dejan las negras). Y para divertirse, podéis manipular el siguiente applet de Geogebra.</span></div>
<br />
<iframe height="580px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/FbBjQdeW/width/800/height/580/border/888888/sri/true/sdz/true" style="border: 0px;" width="800px"> </iframe>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-70491785818804826732017-01-03T12:18:00.000+01:002017-01-15T10:38:00.368+01:00Las tablas de multiplicar<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En 2º de Primaria se introducen las consabidas tablas de multiplicar, pues son necesarias para aplicar el algoritmo que nos permite calcular la multiplicación de dos números. El método tradicional, consiste en ir aprendiendo una a una todas las tablas hasta el 9 (o el 10 aunque esta última no haga falta).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Hace poco, tuve contacto con otro método alternativo, que consiste en visualizarlas todas de golpe:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgj5_3kyqet6D9lLI2DBtc-007AcNSG0fGUAHPZuxd7jEo_Y3YM8mpPpaHY59HDFh3jeOxkbSUx_OPsdty5RPDcjxTsZgr5rL8yJsu-AzYi6VHgdwRSe6BWCG1bqnkalS2EijZPnuxC8-2d/s1600/tablas.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="632" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgj5_3kyqet6D9lLI2DBtc-007AcNSG0fGUAHPZuxd7jEo_Y3YM8mpPpaHY59HDFh3jeOxkbSUx_OPsdty5RPDcjxTsZgr5rL8yJsu-AzYi6VHgdwRSe6BWCG1bqnkalS2EijZPnuxC8-2d/s640/tablas.jpg" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Si llegado este punto, has sufrido un sobresalto, te ruego que sigas leyendo y emitas tu opinión al terminar el post.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Cuando nos estudiamos (como yo hice e igual que como seguramente tú aprendiste) las tablas, era un signo de distinción decir hasta la que te sabías. Es por ello, que las que más quebraderos de cabeza ofrezcan sean las últimas y en las que solemos cometer más fallos. El motivo es que las primeras las recitamos muchas más veces que las últimas.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Pero además, hasta que no íbamos avanzando en el tedioso camino de recordarlas, no podíamos deducir ciertas propiedades algebraicas del producto, que por contra se adquieren con facilidad en la suma.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Veamos entonces qué ventajas respecto al método tradicional tiene este:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<span style="font-size: large;"></span><br />
<ol><span style="font-size: large;">
<li style="text-align: justify;">Se puede dar a los escolares la tabla vacía, para que ellos la rellenen, poco a poco. Con ello, afianzamos el concepto de multiplicación, entendida como una suma repetida del mismo número.</li>
<li style="text-align: justify;">Por descubrimiento, el niño aprende que <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_absorbente">el cero es el elemento absorbente para el producto</a> </b>y que <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro">el uno es el elemento neutro</a>.</b></li>
<li style="text-align: justify;">Si observamos los juegos de construcción de nuestros hijos, podremos darnos cuenta que suelen (por no afirmar que siempre) realizar modelos que cuentan con <b><a href="http://definicion.de/simetria-axial/">simetría axial</a>. </b>En esta propuesta, la simetría es respecto de la linea que pasa por los cuadrados en blanco, es decir, que si intercambiamos de forma apropiada los cuadros amarillos y verdes (esto es, cambiar la fila que ocupa una posición, por la correspondiente columna en esa posición), los números no cambian de lugar. Habremos, nuevamente, descubierto otra interesante propiedad del producto de números naturales: <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad">es conmutativa</a>.</b></li>
<li style="text-align: justify;">Pero los cuadros que han quedado en blanco, no lo han hecho por falta de interés. Se trata de cuadrados perfectos, o como también se pueden introducir, de <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_perfecto">números cuadrados</a></b>.</li>
<li style="text-align: justify;">Permite la manipulación de los números pares e impares, así como algunas propiedades de los mismos: (al multiplicar por un par, el resultado es par. Sólo se obtiene resultado impar, al multiplicar dos impares).</li>
<li style="text-align: justify;">Genera de manera intuitiva, los criterios de divisibilidad (a modo de ejemplo, un número será divivible por 5, si acaba en 0 o 5).</li>
</span></ol>
<span style="font-size: large;">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ahora, si no te ha convencido mi discurso, puedes seguir con el método que nos enseñaron en la EGB. Yo, que este año me toca lidiar con las tablas de mi hija, lo voy a intentar así, pues me ofrece más garantías que inconvenientes y me permite enseñarle las Matemáticas, no como un conjunto de reglas, sino como una disciplina armoniosa y con la que disfrutar.</span></div>
<span style="font-size: large;">
</span>
<br />
<div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
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<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-20453030935082111132016-12-25T13:47:00.000+01:002016-12-25T13:49:56.065+01:00¿Cuántos cuadrados ves?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Hace una fechas, me topé con una de estas imágenes que circulan por las redes, en las que se ve un cuadrado subdividido y hacen la preguntita <span style="color: blue;">¿Cuántos cuadrados ves?</span> Al tratar de resolverlo, debes seguir alguna estrategia y en este caso, basta con contar. Tomemos como unidad, la medida del lado más pequeño y podemos contar cuántos hay de cada tipo. Veamos un ejemplo, donde <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_i" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C_i" title="C_i" /></a> , denota el número de cuadrados que hay en uno, de tamaño i:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqShUlzIOVjT2A1rZHJ8WPyLuL0CyeDdZ1V7YJ53yTPkAMLkr9v_MbP4Rr3WFltsvrz-caeHzFnjoANg4fzPUBwWaOYy80T6M8Yyovdh4MJGXMJ8qsB9QivZyN0d6CkSG9YGoEyU0FwCLl/s1600/Cuadrados.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="452" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqShUlzIOVjT2A1rZHJ8WPyLuL0CyeDdZ1V7YJ53yTPkAMLkr9v_MbP4Rr3WFltsvrz-caeHzFnjoANg4fzPUBwWaOYy80T6M8Yyovdh4MJGXMJ8qsB9QivZyN0d6CkSG9YGoEyU0FwCLl/s640/Cuadrados.png" width="640" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y aquí vino mi sorpresa: ¡el número de cuadrados, se puede a su vez expresar como la suma de cuadrados de naturales consecutivos! Tan bonito resultado, no le queda más remedio que ser cierto y no fruto de la casualidad de estos primeros casos. Y en efecto es así. Para demostrarlo, pensemos que un cuadrado de tamaño mayor, se obtiene adosándole una orla al de tamaño inmediatamente anterior, como podemos ver en el siguiente dibujo:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh0_bFZ5urcjxC15LykRsS2J2LJAeTDJRiaRGEggrCFbjify6a1tMmpkO7oHXrrgcSmO8mY78z7S3sMN5O6PF0zYqyDkQpwK5C6i7TCGhfBhSiiZsykPGEF6Cj9wlPrd4jppB5nCMdVkTQ/s1600/Cuadrados1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="313" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh0_bFZ5urcjxC15LykRsS2J2LJAeTDJRiaRGEggrCFbjify6a1tMmpkO7oHXrrgcSmO8mY78z7S3sMN5O6PF0zYqyDkQpwK5C6i7TCGhfBhSiiZsykPGEF6Cj9wlPrd4jppB5nCMdVkTQ/s400/Cuadrados1.png" width="400" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y aquí, la Geometría se fusiona con el Análisis, para las cuentas. Claramente, el número de cuadrados, será el que haya en uno de tamaño inferior, junto con los nuevos que genere la orla. Denotando <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;C%27_i" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;C'_i" title="C'_i" /></a> al número de cuadrados nuevos, se tiene: <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_i=C_{i-1}+C%27_i" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;C_i=C_{i-1}+C'_i" title="C_i=C_{i-1}+C'_i" /></a>, para i cualquier natural superior a uno.</span></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Queremos demostrar que <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;C_n=1^2+2^2+\cdots&space;+n^2,&space;\forall&space;n\in\mathbb{N}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C_n=1^2+2^2+\cdots&space;+n^2,&space;\forall&space;n\in\mathbb{N}" title="C_n=1^2+2^2+\cdots +n^2, \forall n\in\mathbb{N}" /></a> (*). Además, esta suma no cuesta mucho demostrar que se puede expresar como:</span></div>
<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;C_n=1^2+2^2+\cdots&space;+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},&space;\forall&space;n\in\mathbb{N}" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><span style="font-size: large;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C_n=1^2+2^2+\cdots&space;+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},&space;\forall&space;n\in\mathbb{N}" title="C_n=1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \forall n\in\mathbb{N}" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Manos a la obra:</b> para demostrar que el número de cuadrados es una suma de cuadrados como en (*), procedemos por <b>inducción</b>:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Para n=1, claramente se tiene la igualdad</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Supongamos cierta la igualdad para un natural n.</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Para n+1: <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;C_{n+1}=C_n+C%27_{n+1}=1^2+2^2+\cdots&space;+n^2+C%27_{n+1}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C_{n+1}=C_n+C'_{n+1}=1^2+2^2+\cdots&space;+n^2+C'_{n+1}" title="C_{n+1}=C_n+C'_{n+1}=1^2+2^2+\cdots +n^2+C'_{n+1}" /></a></span></li>
</ul>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Veamos entonces cuántos cuadrados nuevos se generan con la orla. Para ello, vamos a considerar el lado de los mismos:</span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">- De lado 1: (n+1) + n = 2n+1</span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">- De lado 2: n + (n-1) = 2n-1</span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">- De lado 3: (n-1) + (n-2) = 2n-3</span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">...................................................</span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">- De lado n: 2 + 1 = 3</span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">- De lado n+1: 1</span></div>
</div>
<div>
<span style="font-size: large;">_________________________________________________</span></div>
<div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En total: </span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;C%27_{n+1}=(2n+1)+(2n-1)+(2n-3)+\cdots&space;3+1" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;C'_{n+1}=(2n+1)+(2n-1)+(2n-3)+\cdots&space;3+1" title="C'_{n+1}=(2n+1)+(2n-1)+(2n-3)+\cdots 3+1" /></a>
</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Pero la suma, es la de los n+1 términos de una progresión aritmética de diferencia 2, con lo que aplicado la consabida fórmula, se tiene:</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;C%27_{n+1}=(2n+1)+(2n-1)+(2n-3)+\cdots&space;3+1=\frac{(2n+1+1)(n+1)}{2}=\frac{(2n+2)(n+1)}{2}=\frac{2(n+1)(n+1)}{2}=(n+1)^2" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;C'_{n+1}=(2n+1)+(2n-1)+(2n-3)+\cdots&space;3+1=\frac{(2n+1+1)(n+1)}{2}=\frac{(2n+2)(n+1)}{2}=\frac{2(n+1)(n+1)}{2}=(n+1)^2" title="\large C'_{n+1}=(2n+1)+(2n-1)+(2n-3)+\cdots 3+1=\frac{(2n+1+1)(n+1)}{2}=\frac{(2n+2)(n+1)}{2}=\frac{2(n+1)(n+1)}{2}=(n+1)^2" /></a>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>lo que concluye la demostración</b>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Así, en número de cuadrados que "ves" en uno de lado n, viene dado por:</span></div>
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\large&space;C_n=1^2+2^2+\cdots&space;+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},&space;\forall&space;n\in\mathbb{N}" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;" target="_blank"><span style="font-size: large;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;C_n=1^2+2^2+\cdots&space;+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},&space;\forall&space;n\in\mathbb{N}" title="C_n=1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \forall n\in\mathbb{N}" /></span></a></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;">¿No es sencillamente precioso?</span></div>
<br />David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-8608102309262943552016-11-01T11:21:00.001+01:002016-11-01T13:10:05.814+01:00La letra del NIF<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En esta entrada, voy a desgranar los entresijos que subyacen bajo la letra que acompaña a nuestro Documento Nacional de Identidad (DNI). La pretensión de la misma, es doble: por un lado servir de apoyo en mis clases en los primeros cursos de la Secundaria (por lo que la lectura de la primera parte, tiene un público generalista) y por otro, demostrar la valía del uso de números primos en códigos numéricos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">El Número de Identificación Fiscal (NIF) es un conjunto de 8 dígitos acompañados de una letra, que sirve como código de verificación, esto es, para evitar errores al introducir nuestros datos. Vemos cómo se obtiene dicha letra:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Dividimos la cifra de 8 dígitos entre 23, con lo que el resto de la división entera ha de ser un número comprendido entre 0 y 22. La elección de la letra se realiza asignando al resto obtenido, la correspondiente en la siguiente tabla:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<table border="0" style="background-color: white; border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-spacing: 0px; border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 1px; box-sizing: inherit; color: #333333; font-family: "Noto Serif", serif; margin: 0px 0px 1.6842em; outline: 0px; padding: 0px; table-layout: fixed; text-align: center; vertical-align: baseline; width: 634px;"><tbody style="border: 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<tr style="border: 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; width: 63px; word-wrap: normal;"><span style="border: 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: 700; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: large;">RESTO</span></span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">0</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">1</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">2</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">3</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">4</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">5</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">6</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">7</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">8</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">9</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">10</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">11</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">12</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">13</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">14</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">15</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">16</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">17</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">18</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">19</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">20</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">21</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">22</span></td></tr>
<tr style="border: 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; width: 63px; word-wrap: normal;"><span style="border: 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: 700; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: large;">LETRA</span></span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">T</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">R</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">W</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">A</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">G</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">M</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">Y</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">F</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">P</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">D</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">X</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">B</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">N</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">J</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">Z</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">S</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">Q</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">V</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">H</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">L</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">C</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">K</span></td><td style="border-color: rgba(51, 51, 51, 0.0980392); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px 0px; box-sizing: inherit; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.4em; text-align: justify; vertical-align: baseline; word-wrap: normal;"><span style="font-size: large;">E</span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-size: large;">Para fijar ideas, <b>veamos un ejemplo</b>:</span><br />
<div>
<span style="font-size: large;">Supongamos que la cifra de nuestro DNI es 45234178, la división entre 23 es: </span></div>
<div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioLLMQgWIUmAevZWaiW0nl1jKgRZJxmnL0YPyQvZq14QortU689OM8hKyu5LxlntYfUUQdoL1mSA9MZgHENizWJQR6RRokFlMrxsQbq3EHpM8vrYCK3ysh51r6hPjdnUx1rLoseVTqP6tp/s1600/division.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioLLMQgWIUmAevZWaiW0nl1jKgRZJxmnL0YPyQvZq14QortU689OM8hKyu5LxlntYfUUQdoL1mSA9MZgHENizWJQR6RRokFlMrxsQbq3EHpM8vrYCK3ysh51r6hPjdnUx1rLoseVTqP6tp/s400/division.png" width="223" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Con lo que la letra correspondiente es la <b>D</b> y nuestro NIF sería: 45234178 D.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">De manera natural, surgen dos preguntas:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">1. ¿Por qué dividir entre 23?</span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Nuestro alfabeto cuenta con 27 letras, con lo que podría parecer natural dividir entre 27. Pero para evitar parecidos entre números y letras eliminamos I y O (pues podrían confundirse con los dígitos 1 y 0). También prescindimos de la Ñ por su similitud con la N. Dispondríamos entonces de 24 letras candidatas...¿porqué entre 23? La razón no es baladí, ya que 23 es el primo inmediatamente inferior a 24 y tiene como veremos, un interés especial. Así que quitamos otra letra de la lista, en este caso la U (no entiendo bien las razones de la elección, pero esa fue la que se eliminó).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Las ventajas de dividir entre 23, residen en la motivación de asignar una letra a nuestro DNI: es un código verificador de errores. Los más comunes son repetir un dígito, cambiar uno o permutar dos de ellos. En todos estos casos, la letra cambia, con lo que detectaríamos que hay un error. Siguiendo con el ejemplo:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<ul>
<li><span style="font-size: large;">45234178 <b>D</b> (número original)</span></li>
<li><span style="font-size: large;"><b><span style="color: red;">55</span></b>234178 <b>T </b>(repetición de un dígito)</span></li>
<li><span style="font-size: large;">4<b><span style="color: red;">9</span></b>234178 <b>X </b>(cambio de un dígito)</span></li>
<li><span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><b>54</b></span>234178 <b>V</b> (permutación de dos dígitos)</span></li>
</ul>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>2. ¿Qué esconde la primalidad de 23? </b></span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">La Teoría de grupos pone la alfombra roja para responder a la pregunta: en el grupo multiplicativo <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\mathbb{Z}_{23}^{*}" target="_blank"><img span="" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{Z}_{23}^{*}" /></a> todo elemento tiene inverso, lo que permite detectar los errores más comunes. En efecto:</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<span style="font-size: large;"><u>Repetición de un dígito o alteración de uno de ellos:</u></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /><img height="88" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%24Sea%20x%20el%20n%5C%27umero%20de%20nuestro%20DNI%20y%20supongamos%20que%20se%20expresa%20como%24%20%5C%20x%3Da_%7B7%7D10%5E%7B7%7D&plus;%5Ccdots%20&plus;a_%7Bk%7D10%5E%7Bk%7D&plus;%5Ccdots%20&plus;a_%7B0%7D.%20%5C%20%24Si%20hemos%20alterado%20un%20d%5C%27igito%20llamemos%20a%20este%20nuevo%20n%5C%27umero%24%20%5C%20x%5E%7B%27%7D%3Da_%7B7%7D10%5E%7B7%7D&plus;%5Ccdots%20&plus;b_%7Bk%7D10%5E%7Bk%7D%5Ccdots%20&plus;a_%7B0%7D%20%5C%20%24con%20k%24%20%5Cin%5Cleft%20%5C%7B%207%2C%5Ccdots%20%5Cright%2C0%20%5C%7D%5C%5C%20%24Entonces%24%20%5C%20x%5Cequiv%20_%7B23%7Dx%27%5CLeftrightarrow%20a_%7Bk%7D10%5E%7Bk%7D%5Cequiv%20_%7B23%7Db_%7Bk%7D10%5E%7Bk%7D%5CLeftrightarrow%20a_%7Bk%7D%3Db_%7Bk%7D" width="640" /></span></div>
<br />
<div>
<span style="font-size: large;">La última equivalencia es factible por la consabida existencia de inverso de cualquier elemento.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><u>Permutación de dos dígitos:</u></span><br />
<span style="font-size: large;"><u><br /></u></span>
<img height="130" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%24Sea%20x%20el%20n%5C%27umero%20de%20nuestro%20DNI%20y%20supongamos%20que%20se%20expresa%20como%24%20%5C%20x%3Da_%7B7%7D10%5E%7B7%7D&plus;%5Ccdots%20&plus;a_%7Bk%7D10%5E%7Bk%7D&plus;a_%7Bk-1%7D10%5E%7Bk-1%7D%5Ccdots%20&plus;a_%7B0%7D.%20%5C%20%24Si%20hemos%20permutado%20dos%20d%5C%27igitos%20llamemos%20a%20este%20nuevo%20n%5C%27umero%24%20%5C%20x%5E%7B%27%7D%3Da_%7B7%7D10%5E%7B7%7D&plus;%5Ccdots%20&plus;a_%7Bk-1%7D10%5E%7Bk%7D&plus;a_%7Bk%7D10%5E%7Bk-1%7D&plus;%5Ccdots%20&plus;a_%7B0%7D%20%5C%20%24con%20k%24%20%5Cin%5Cleft%20%5C%7B%207%2C%5Ccdots%20%5Cright%2C1%20%5C%7D%5C%5C%20%24Entonces%24%20%5C%20x%5Cequiv%20_%7B23%7Dx%27%5CLeftrightarrow%20a_%7Bk%7D10%5E%7Bk%7D&plus;a_%7Bk-1%7D10%5E%7Bk-1%7D%5Cequiv%20_%7B23%7Da_%7Bk-1%7D10%5E%7Bk%7D&plus;a_%7Bk%7D10%5E%7Bk-1%7D%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%20%28%20a_%7Bk%7D-a_%7Bk-1%7D%5Cleft%20%5Cright%20%2910%5E%7Bk%7D&plus;%5Cleft%20%28%20a_%7Bk-1%7D-a_%7Bk%7D%20%5Cright%20%2910%5E%7Bk-1%7D%5Cequiv%20_%7B23%7D0%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%20%28%20a_%7Bk%7D-a_%7Bk-1%7D%20%5Cright%20%29%5Cleft%20%28%2010%5E%7Bk%7D-10%5E%7Bk-1%7D%20%5Cright%20%29%5Cequiv%20_%7B23%7D0%20%5CLeftrightarrow" width="640" /><br />
<br /></div>
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLeftrightarrow%20a_%7Bk%7D%3Da_%7Bk-1%7D" /><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div>
<br /></div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-37156511282268507222016-10-16T12:20:00.001+02:002017-05-25T12:30:41.820+02:00Puntos notables del triángulo<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Hace unos días, mi compañera de dibujo Rosa Guillén, me transmitió una pregunta que le habían formulado sus alumnos de 4º de ESO: "¿porqué se cortan siempre las rectas notables de un triángulo?". Ni corta ni perezosa, como corresponde a una profesional inquieta, me trasladó la cuestión por si podía aportar luz. Suelo decir, que a los matemáticos no nos gustan los problemas (habrá a quien sí, e incluso <i>meterse en ellos</i>), si no que nos divertimos intentando resolverlos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">La preguntita, así formulada, con la espontaneidad de los niños cuando tienen 15 años y una mente no domada por los años de impartir docencia, me parecía un auténtico reto.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y la solución a la misma, nació por el principio de dualidad: lo importante son los puntos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">El <b>baricentro</b>, es el centro de gravedad del triángulo. Desde el punto de vista práctico, si dispusiéramos de una mesa triangular a la que sólo quisiéramos poner una pata, sería ese el punto donde deberíamos colocarla. Para obtenerlo, basta con ver donde se cortan las medianas.</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">El <b>incentro</b>, es el centro de la circunferencia tangente a los lados y su construcción se basa en estudiar dónde se cortan las bisectrices (nótese que la tangente a una circunferencia forma un ángulo recto con el radio en el punto de tangencia y por lo tanto el incentro es un punto a igual distancia de los lados del triángulo, lo que en una red de carreteras triangular, permitiría poner una estación de servicio que enlazaría con las otras por el camino más corto).</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">El c<b>ircuncentro</b>, es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices y por lo tanto equidista de estos. Desde un punto de vista operativo, dados tres pueblos no alineados, si quisiéramos construir un Consultorio médico para a tender a sus habitantes (<i>pues en estos tiempos de crisis, gracias a los recortes en Sanidad, no da para hacer uno en cada pueblo</i>), éste debería ubicarse en el circuncentro. Y su construcción se basa en ver el punto de corte de las mediatrices (que son lugares geométricos que equidistan de los vértices entre los que se trazan).</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">El <b>ortocentro</b>, no tienen una aplicación tan directa...pero si las alturas, para calcular entre otras cuestiones, el área del triángulo. Entonces, ¿qué casualidad que también se cortan las alturas?. La explicación es sencilla: si por cada vértice del triángulo, trazamos una recta paralela al lado opuesto, estas se cortan dos a dos formando un nuevo triángulo. Y las alturas del triángulo inicial, resultan ser las mediatrices del nuevo, que sabemos que se cortan.</span></li>
</ul>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Así que las rectas notables se cortan, precisamente porque se construyen para obtener los puntos. <b>De ahí que los realmente notables, sean los puntos y no las rectas</b>. Si buscamos bibliografía de referencia (por ejemplo <a href="https://books.google.es/books?id=GtkRT0OYitcC&printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false"><span style="color: blue;">véase</span></a>) observaremos que la relevancia la tienen los puntos.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_de_Euler"><span style="color: blue;">La recta de Euler</span></a>, dio pie a otra cuestión, que me ha motivado a realizar el siguiente applet de Geogebra. Si el genial Euler demostró en el s. XVIII que baricentro, circuncentro y ortocentro se encuentran alineados (precisamente la recta que los contiene lleva su nombre), ¿bajo qué condiciones los cuatro puntos notables pertenecen a la recta de Euler?. Y la condición necesaria y suficiente es que el triángulo tenga dos lados iguales (isósceles) coincidiendo entonces todas las <i>rectas notables</i> trazadas sobre el lado desigual con la de Euler.</span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<iframe height="518px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bpknZyxR/width/1200/height/518/border/888888/sri/true/sdz/true" style="border: 0px;" width="1200px"> </iframe>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-6524435067504030742016-10-11T00:11:00.001+02:002016-10-11T00:14:08.400+02:00Premio en Ciencia en Acción 2016<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Nuestra participación con el proyecto </span><b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="https://topologia.wordpress.com/2016/09/30/superficies-topologicas-en-la-noche-de-los-investigadores/">¡Juguemos a clasificar superficies!</a> </b><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">en la XVII edición del concurso de ámbito internacional para países de habla hispana o portuguesa <a href="http://www.cienciaenaccion.org/es/2016/home.html"><b>Ciencia en Acción</b></a>, celebrada en la ciudad de Algeciras del 7 al 9 de octubre, ha sido galardonada con el primer premio en la categoría de Laboratorio de Matemáticas.</span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Aunque no es la primera vez (en <a href="http://www.cienciaenaccion.org/es/2013/noticia/54_acta-del-jurado-de-la-xiv-edicion-de-ciencia-en-accion.html"><b>2013</b></a> y <a href="http://www.cienciaenaccion.org/es/2014/noticia/70_acta-del-jurado-de-la-xv-edicion-de-ciencia-en-accion.html"><b>2014</b></a> recibimos el primer premio ex aecuo y José Luis Rodríguez en 2012 una mención de honor), la sensación al oir pronunciar las primeras frases por las que el jurado justifica el premio, te hacen revivir la misma experiencia inigualable al sentirte ganador aún cuando no han pronunciado el nombre del proyecto.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Según reza en el <b><a href="http://www.cienciaenaccion.org/es/2016/noticia/113_acta-del-jurado-de-la-xvii-edicion-de-ciencia-en-accion.html">acta del jurado</a>:</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span style="background-color: white; text-align: justify;">"Por su cuidada presentación multimedia y desarrollo de software para difundir la topología a jóvenes de enseñanzas medias de un modo atractivo y fácilmente exportable a otros centros, </span><span style="background-color: white; font-weight: bolder; text-align: justify;"><span lang="ES-TRAD">se concede 1<sup>er</sup> Premio de Laboratorio de Matemáticas al trabajo “<i>¡Juguemos a clasificar superficies!</i></span></span><span style="background-color: white; font-weight: bolder; text-align: justify;">”</span><span lang="ES-TRAD" style="background-color: white; text-align: justify;"> de José Luis Rodríguez, David Crespo, Dolores Jiménez, Antonio Zarauz y Diego Cangas de la Universidad de Almería (Almería)."</span></span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span lang="ES-TRAD" style="background-color: white; text-align: justify;"><br /></span></span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span lang="ES-TRAD" style="background-color: white; text-align: justify;">Qué duda cabe, que la incorporación de Antonio Zarauz y de Diego Cangas, eran apuestas ganadoras: su trabajo con Mathematica y realidad virtual ,respectivamente, dejaban pocas dudas en los visitantes del stand sobre la calidad del mismo.</span></span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span lang="ES-TRAD" style="background-color: white; text-align: justify;"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span style="background-color: white;">Y como desde unos años hasta la fecha (que van 4, pero por su productividad han rendido como no sé bien cuantos más), el gran artífice de todo este proyecto, aportando ideas, aglutinando recursos humanos y haciendo que cada vez disfrute, si cabe, más con lo que hago, se encuentra mi álter ego José Luis Rodríguez Blancas. Gracias otra vez Maestro.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="https://scontent-mad1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/14591723_1396212183740104_6196806769077250385_n.jpg?oh=4bb205de44e9852414d7eab28cfab74f&oe=589DE66F" /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span style="background-color: white;"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span style="background-color: white;"><br /></span></span></div>
</div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-26055183711019886522016-09-18T22:02:00.000+02:002016-09-23T18:49:30.979+02:00Demostración del Teorema de PitágorasTodos los días son para aprender algo nuevo. Ciertamente, el Teorema de Pitágoras no es muy novedoso, que digamos, pero sí esta demostración que <a href="http://cms.ual.es/UAL/personas/persona.htm?id=555256495254575081"><b>Antonio Frías</b></a> ha tenido a bien mostrarnos en Facebook. Así que no me he podido resistir a realizarla con Geogebra, que permite la animación mediante deslizadores. Que la disfrutéis:<br />
<iframe height="578px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pznvnRW4/width/1050/height/578/border/888888/sri/true/sdz/true" style="border: 0px;" width="1050px"> </iframe>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-67999899009311090862016-04-25T15:18:00.002+02:002016-05-03T00:31:31.572+02:00Toro de papiroflexia: 360 módulos phizz <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;">
</div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">La entrada de la construcción del <a href="http://matesdedavid.blogspot.com.es/2016/04/toro-de-papiroflexia-105-modulos-phizz.html"><b><span style="color: blue;">toro con 105 pieza</span><span style="color: blue;">s</span></b></a>, se ve ampliada con esta otra en la que vamos a describir algunas particularidades sobre la superficie y el ensamble de esta construcción, hermana mayor de la anterior.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En primer lugar, vamos a detenernos en los diseños, prestando atención a los polígonos que pueden intervenir en la misma. Puesto que el módulo que emplearemos es el phizz (véase su construcción y montaje<a href="https://www.youtube.com/watch?v=jqRyu8M-GpA"><span style="color: blue;"><b> aquí</b></span></a>) y con el mismo se pueden hacer polígonos de cinco o más lados, supongamos que en la construcción del toro queremos emplear tres tipo de polígonos. A saber, p pentágonos, h hexágonos y k polígonos de n lados. Si notamos por C al número de caras, V al de vértices, A el de aristas y g el género de la superficie, todos estos valores se encuentran relacionados por la fórmula de Euler-Poincaré:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C-A&plus;V%3D2-2g%3D2-2%5Ccdot%201%3D0" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C-A&plus;V%3D2-2g%3D2-2%5Ccdot%201%3D0" /></span></a></div>
<span style="font-size: large;">En nuestro caso además:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C%3Dp&plus;h&plus;k%2C%20V%3D%5Cfrac%7B5p&plus;6h&plus;kn%7D%7B3%7D%2C%20A%3D%20%5Cfrac%7B5p&plus;6h&plus;kn%7D%7B2%7D" /></span></div>
<span style="font-size: large;">Sustituyendo en la fórmula de Euler -Poincaré y desarrollando la expresión resultante tenemos:</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C&plus;V-A%3D%5Cleft%20%28%20p&plus;h&plus;k%20%5Cright%20%29%20&plus;%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B5p&plus;6h&plus;kn%7D%7B3%7D%20%5Cright%20%29%20-%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B5p&plus;6h&plus;kn%7D%7B2%7D%5Cright%20%29%3D%5C%5C%20%3D%5Cfrac%7Bp&plus;%5Cleft%20%28%206-n%20%5Cright%20%29k%7D%7B6%7D%3D0%20%5CRightarrow%20p&plus;%5Cleft%20%28%206-n%20%5Cright%20%29k%5CRightarrow%20p%3D%5Cleft%20%28%20n-6%20%5Cright%20%29k%20%5C%20%5C%20%5Cleft%20%28%20*%20%5Cright%20%29" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C&plus;V-A%3D%5Cleft%20%28%20p&plus;h&plus;k%20%5Cright%20%29%20&plus;%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B5p&plus;6h&plus;kn%7D%7B3%7D%20%5Cright%20%29%20-%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B5p&plus;6h&plus;kn%7D%7B2%7D%5Cright%20%29%3D%5C%5C%20%3D%5Cfrac%7Bp&plus;%5Cleft%20%28%206-n%20%5Cright%20%29k%7D%7B6%7D%3D0%20%5CRightarrow%20p&plus;%5Cleft%20%28%206-n%20%5Cright%20%29k%5CRightarrow%20p%3D%5Cleft%20%28%20n-6%20%5Cright%20%29k%20%5C%20%5C%20%5Cleft%20%28%20*%20%5Cright%20%29" /></span></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">La expresión (*) tiene importantes consideraciones:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;">
</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">El polígono de menor número de lados que podemos usar con el módulo phizz, es el pentágono.</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">No podemos emplear, exclusivamente pentágonos y hexágonos.</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">El número de pentágonos, ha de ser proporcional al número de polígonos de n lados (donde el valor más pequeño de n es 7).</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Si n=7, el número de pentágonos y de heptágonos empleados es el mismo (p=k).</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Si n=8, el número de pentágonos es el doble que el de octógonos (p=2k, como ocurre en el<a href="http://matesdedavid.blogspot.com.es/2016/04/toro-de-papiroflexia-105-modulos-phizz.html"><b> <span style="color: blue;">toro 105</span></b></a>).</span></li>
</ul>
<h3>
<span style="font-size: large;">
Construcción del toro</span></h3>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Nuestra propuesta, incluye el uso de pentágonos (p=24), hexágonos (h=72) y heptágonos (H=24). Mediante las expresiones obtenidas anteriormente, resulta que la construcción resultante tiene:</span></div>
</div>
<div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>A= 360 aristas</b></span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>V= 240 vértices</b></span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>C= 120 caras</b></span></li>
</ul>
<span style="font-size: large;">y claramente </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C&plus;V-A%3D120&plus;240-360%3D0" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C&plus;V-A%3D120&plus;240-360%3D0" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Tras algún primer intento desastroso, pues las búsquedas en Internet te conducen en ocasiones a informaciones erróneas y las imágenes que encontraba, no permitían el detalle de las disposición de los polígonos, obtuvimos esta que si bien no se centra el estudio matemático de la superficie, por lo menos incluía un esquema acertado:</span></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://mattersofgrey.com/wp-content/uploads/2010/08/phizz-torus-wireframe.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img alt="Phizz torus wireframe" border="0" src="http://mattersofgrey.com/wp-content/uploads/2010/08/phizz-torus-wireframe.gif" height="276" width="320" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Se trata de hacer dos copias de esta disposición, donde los hexágonos amarillos son compartidos y en la parte de abajo, comenzaríamos a construir nuevos heptágonos.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Dado que la actividad se llevó a cabo con nueve alumnos, vimos la necesidad de optimizar los recursos y diseñar un plan de trabajo que permitiese la participación de todos a la vez (cosa que es materialmente imposible si construimos directamente la figura). Para ello, diseñamos dos coronas, circulares empezando por 12 heptágonos cada una. Una vez cerrados los mismos, en la parte exterior se van sucediendo de forma alterna pentágonos con hexágonos, tal y como puede apreciarse en las fotos siguientes:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVylnuadBXAjD0_wgO8UtVXOhP6OmS4UifWPbZEM5ukGeHM0V3XLZC-7VKozIr2zySggiClCCiPbCy6gIi9QDAra4j4Lcz_wMvRwkuZuejhkeOASPqab-55_WaNyT7Wp2WKodbl-iiiCpv/s1600/20160422_133959.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVylnuadBXAjD0_wgO8UtVXOhP6OmS4UifWPbZEM5ukGeHM0V3XLZC-7VKozIr2zySggiClCCiPbCy6gIi9QDAra4j4Lcz_wMvRwkuZuejhkeOASPqab-55_WaNyT7Wp2WKodbl-iiiCpv/s640/20160422_133959.jpg" width="640" /></span></a></div>
<br />
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhxK6mCKUBhohD94MOoU5NhzlsYAgNUdMSSM0uiNikt0qtf5GeSKDyIPQ2XgcPf7yzhiey94g7duDftJc1h0tCCdBn7zKOXHTbBMRIpmSeMB5JAmA-TFInYB0W4O7XKxnD7a0ItxD468CG/s1600/20160422_133937.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhxK6mCKUBhohD94MOoU5NhzlsYAgNUdMSSM0uiNikt0qtf5GeSKDyIPQ2XgcPf7yzhiey94g7duDftJc1h0tCCdBn7zKOXHTbBMRIpmSeMB5JAmA-TFInYB0W4O7XKxnD7a0ItxD468CG/s640/20160422_133937.jpg" width="640" /></span></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1RCik4dKLehSLIuy_JixBiq8G1_yrs9CKv8atH2gjMJ2XwhMZxj35YTemLXBYSf-G59qVzawND1cFtuB9KkQC4tDY663ZwDjPYNtzjR4cwDLPRUgsxJWl3DRe0JBDWWQQG-YEzYPN8hyphenhyphenD/s1600/20160422_133912.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1RCik4dKLehSLIuy_JixBiq8G1_yrs9CKv8atH2gjMJ2XwhMZxj35YTemLXBYSf-G59qVzawND1cFtuB9KkQC4tDY663ZwDjPYNtzjR4cwDLPRUgsxJWl3DRe0JBDWWQQG-YEzYPN8hyphenhyphenD/s640/20160422_133912.jpg" width="640" /></span></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-size: large;">Y ahora nos toca ensamblar ambas piezas; para ello tendremos en cuenta:</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Al unir la parte central (módulos rojos con amarillos) debemos eliminar dos de los amarillos y en su lugar ocuparlos por rojos. Este exceso de trabajo, se debe a la morfología del módulo, pues el sobrante amarillo, hace que el heptágono no se desarme.</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">En la parte externa: </span></li>
</ul>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> - Unimos los módulos situados bajo los pentágonos mediante un nuevo módulo, cerrándose así dos hexágonos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> - Ensamblamos los módulos situados bajo los hexágonos (nuevamente hay que eliminar dos módulos) generándose tres hexágonos.</span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Culminamos nuestra construcción, con las imágenes finales:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwahpPqsJjIhfW78F7LA5W8qDvcLbQeeWc07yWl39HImGCZXxogEww-x1M7ZF8WSuK9EhZ3jUlXTqd6KLuhNFPoDK92ZVWzu6H1hjBEpc15s5KfiaXQxUJK6CAZVtVxScAZznTtaIv0G9r/s1600/20160425_110322.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwahpPqsJjIhfW78F7LA5W8qDvcLbQeeWc07yWl39HImGCZXxogEww-x1M7ZF8WSuK9EhZ3jUlXTqd6KLuhNFPoDK92ZVWzu6H1hjBEpc15s5KfiaXQxUJK6CAZVtVxScAZznTtaIv0G9r/s640/20160425_110322.jpg" width="480" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3UJB4UIn1NcvNKnPSU6RYCnhzwTCX_NX_AZMY4QU9Du9aF82JmPzLBDqflSnzJG2TDHIxfjeAgbVgUzkXeZc9EFPNJceJKftev6Aa92Pv9SJqkdMsvhPakDVTmT4iBoMOVOh_vmScK-WB/s1600/20160425_113506.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3UJB4UIn1NcvNKnPSU6RYCnhzwTCX_NX_AZMY4QU9Du9aF82JmPzLBDqflSnzJG2TDHIxfjeAgbVgUzkXeZc9EFPNJceJKftev6Aa92Pv9SJqkdMsvhPakDVTmT4iBoMOVOh_vmScK-WB/s640/20160425_113506.jpg" width="480" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUHg8ZIAg5AhckszrNekMbiZaJfdPw1Wxq1y5aw357SR_bGvA98ui5-vMN2S7WmGRscmNQFEZujSVXkNd-XL6Ge_YaLEAmSdxiHWy5BPc_sSEwtEcaqTzdTiDeZDDKDbVgUb5eYqQvWNHk/s1600/20160425_133130.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUHg8ZIAg5AhckszrNekMbiZaJfdPw1Wxq1y5aw357SR_bGvA98ui5-vMN2S7WmGRscmNQFEZujSVXkNd-XL6Ge_YaLEAmSdxiHWy5BPc_sSEwtEcaqTzdTiDeZDDKDbVgUb5eYqQvWNHk/s640/20160425_133130.jpg" width="640" /></a></span></div>
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPGA0QrNqwck4gLhQzmwq-9wtD9z52EP8GZmBWJFxXLM1B4qr9skE5jxAqkmZh2M8LMgiFUf9QtO5YoZkMsbjmLQ1zTOU6xncES5OSkd9O91J3W5wp3CPU7SyqECHypj5xSPCmTKkUA_6M/s640/20160425_132123.jpg" width="480" /></span></div>
</div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFbfynB8xlrv9n-HBY-laMG5r9hcbYrxqpkKFaoxndhRhzz1a7qK70UhEk1Uuwa3HmQl4scH4gSmMbinXV76xsbQxqS9VL1v6eOyJjS8_T9MkiQl-5jDUQKV93qwjPbxc7NwO6lkuxPDTI/s1600/20160425_110326.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPGA0QrNqwck4gLhQzmwq-9wtD9z52EP8GZmBWJFxXLM1B4qr9skE5jxAqkmZh2M8LMgiFUf9QtO5YoZkMsbjmLQ1zTOU6xncES5OSkd9O91J3W5wp3CPU7SyqECHypj5xSPCmTKkUA_6M/s1600/20160425_132123.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFbfynB8xlrv9n-HBY-laMG5r9hcbYrxqpkKFaoxndhRhzz1a7qK70UhEk1Uuwa3HmQl4scH4gSmMbinXV76xsbQxqS9VL1v6eOyJjS8_T9MkiQl-5jDUQKV93qwjPbxc7NwO6lkuxPDTI/s400/20160425_110326.jpg" width="640" /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNCpJhUd5KxSJ0aWTv1ciYOCl_4O-6G8_nedshCIFN3U1Ju94zucFcAh5cRD5w2V4yaiEoXKRy9N9hpMoYJj3r4cfJE46iSIkkJONKqRI4YnLSc8TnCBK2zeTfgWkjA9mD3qMi3Wx2-rlY/s640/20160425_133331.jpg" width="640" /></span></div>
</div>
<div>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5MN4NikkUETrEGplewoqMDXSRcQRTufW5kLgw3lkMRmjuThxWfp_oUwHIknewGKZR6wTN5QXcrmpqtc8sEPpQcMk3zE0qPnATezRXVVvrDKlEjNx22gs7jQkic0QjhOGT6IabZc4YydAw/s640/20160425_133116.jpg" width="640" /></span></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ya sólo me queda agradecer el trabajo de mis alumn@s de 4ª de ESO Díver y esperar que esta experiencia les haya enriquecido tanto como a mi. Nuestro proyecto en la Feria de la Ciencia, en Sevilla, creo que tiene en ellos unos grandes divulgadores.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;">NOTA: </span><span style="font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-size: large; line-height: 1.5em;">El Profesor <a href="http://www.ehu.eus/joseroyo/"><span style="color: blue;">D. José Ignacio Royo</span></a> (</span><span style="background-color: #ffffcc; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; line-height: 1.5em;">UPV-EHU</span><span style="font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; line-height: 1.5em;">), tiene un <a href="https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/abenito/origami/BalonesRoyo.pdf"><span style="color: blue;">artículo</span></a> sobre origami muy interesante, en que pude aclarar ciertas dudas clave de la culminación de este trabajo. y cuya lectura es de gran interés. </span></span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large; line-height: 1.5em;"><span style="font-weight: normal;"><br /></span></span></div>
<span style="font-size: large;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;">Esta entrada participa en la </span><a href="http://pimedios.es/2016/04/07/edicion-7-3-del-carnaval-de-matematicas/" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; color: #2a700d; font-family: georgia, 'bitstream charter', serif; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank"><b style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Edición 7.3</b></a><span style="color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;"> del </span><a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; color: #2a700d; font-family: georgia, 'bitstream charter', serif; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Carnaval de Matemáticas</a> <span style="color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;">cuyo anfitrión es </span><u style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; color: #333333; font-family: georgia, 'bitstream charter', serif; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><a href="http://pimedios.es/" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; color: #2a700d; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank"><b style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">pimedios</b></a></u><span style="color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;">.</span></span></div>
<br />
<h3 style="background: rgb(255, 255, 255); border: 0px; clear: both; font-family: georgia, 'bitstream charter', serif; line-height: 1.5em; margin: 0px 0px 20px; padding: 0px; text-align: justify; vertical-align: baseline;">
</h3>
</div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-15059224325454005812016-04-23T23:25:00.000+02:002016-08-09T19:11:31.848+02:00Educando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">El pasado sábado 9 de abril, se celebró en la UAL la <a href="http://www.ual.es/Congresos/JPM2016/">III Jornada de Profesorado de Matemáticas de Almería</a>, a la que asistieron más de 100 profesores de todos los niveles educativos. Este evento coincidía con el vigésimo aniversario de la Titulación de Matemáticas en nuestra Universidad, razón sobrada para colaborar activamente en el mismo. Puesto que las aportaciones podían ser en forma de taller y póster, decidí participar en ambas. Así, impartí junto con Antonio Frías (UAL) un taller titulado <a href="http://www.ual.es/Congresos/JPM2016/images/talleres/crespo.pdf">"Módulos de papiroflexia para construir Geometría"</a> en el que dimos unas pinceladas sobre distintos módulos y las posibilidades didácticas que entrañan los mismos. Puesto que el tiempo del que disponíamos era infinitamente inferior a las posibilidades que ofrece la papiroflexia, expusimos una colección de figuras anteriormente realizadas y que en su mayoría son fruto del buen hacer de Antonio.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.ual.es/Congresos/JPM2016/images/Fotos/DSC00015.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="480" src="https://www.ual.es/Congresos/JPM2016/images/Fotos/DSC00015.JPG" width="640" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><a href="https://www.blogger.com/"></a><span id="goog_1023212743"></span><span id="goog_1023212744"></span><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Mi otra aportación fue un póster basado en una experiencia realizada en curso 2014/2015 en el IES Ciudad de Dalías. Abordamos la Educación en Valores, a través de las Matemáticas, mediante una actividad que si bien no es novedosa en cuanto al formato, si lo es respecto del enfoque: la construcción de las mil grullas de Sadako, usando los contenidos matemáticos que de ellas se desprenden.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Los pormenores de la actividad, así como los antecedentes históricos, se encuentra recogidos en el siguiente <a href="https://drive.google.com/file/d/0B1CaCw0MU1-OUmdOeGt5OUxid2c/view?usp=sharing"><b><span style="color: red;">enlace</span></b></a> en formato pdf, que espero disfrutéis tanto como lo hicimos nosotros (y el jurado de la actividad, que tuvo a bien galardonar el aporte).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Y por encima de cualquier otra cosa, la más importante por lo que supuso (y sigue teniendo la misma vigencia) es <span style="color: #bf9000;"><b>la grulla dorada</b></span>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;">Esta entrada participa en la </span><a href="http://bit.ly/1Sdb98o" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; color: #2a700d; font-family: Georgia, 'Bitstream Charter', serif; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; text-align: start; vertical-align: baseline;" target="_blank">Edición 7.3</a><span style="background-color: white; color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;"> del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es </span><a href="http://pimedios.es/" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; color: #2a700d; font-family: Georgia, 'Bitstream Charter', serif; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; text-align: start; vertical-align: baseline;" target="_blank">pimedios</a><span style="background-color: white; color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;">.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-41252767994816439352016-04-21T22:33:00.000+02:002016-04-23T09:19:34.114+02:00Toro de papiroflexia: 105 módulos phizz<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ahondando en la pasión que siento por las construcciones con papel, vamos a explicar algunos datos sobre la elaboración de un toro usando técnicas de papiroflexia modular.</span><br />
<span style="font-size: large;">El <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometr%C3%ADa)">toro</a>, es un objeto geométrico que surge al hacer girar una circunferencia alrededor de una recta coplanaria a la misma, pero exterior a ella. Cualquier neófito, dirá que eso es un "Dónut" o parafraseando al gran Homer Simpson, una rosquilla!!!</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinySGgUsnAXjqT4Gr0STUbQ7-gk4NuUky67p54fm9-L5wMH_2uDjzyu3B3MilHZyacDStmF3fSf_psS3muQuRPC892YDIfVtaIdHVj_yBTWLMXTkw127y0-aAU6OoCkt7isKkQ-3SOC5Qq/s1600/what-homer-simpson-taught-us-about-doughnuts.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinySGgUsnAXjqT4Gr0STUbQ7-gk4NuUky67p54fm9-L5wMH_2uDjzyu3B3MilHZyacDStmF3fSf_psS3muQuRPC892YDIfVtaIdHVj_yBTWLMXTkw127y0-aAU6OoCkt7isKkQ-3SOC5Qq/s320/what-homer-simpson-taught-us-about-doughnuts.jpg" width="320" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">La base de la construcción, es un módulo creado por <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tom_Hull">Tom Hull</a> llamado phizz (pentágono, hexágono y zigzag) cuya elaboración y el ensamble, pueden verse en el siguiente <a href="https://www.youtube.com/watch?v=jqRyu8M-GpA">vídeo</a> del Grupo Alquerque.</span><br />
<span style="font-size: large;">La elección de este módulo es debida, a pesar de su nombre, a que podemos realizar polígonos de un mayor número de lados (en concreto octógonos). La idiosincrasia del toro, con curvatura gaussiana negativa en su interior y positiva en la parte externa, hace que necesitemos una pluralidad de polígonos para obtener una triangulación de la superficie. Pensemos que podemos realizar mosaicos regulares con hexágonos, que al ser planos tendrían curvatura nula. Así, para obtener la positiva y la negativa, necesitamos transitar entre polígonos de un mayor número de lados para recubrir el interior y menor para el exterior.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<div style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<span style="font-size: large;">Al tratarse el toro de una superficie orientable sin borde de género 1 (recordemos que el género de una superficie es el número de "agujeros"), la formula de Euler-Poincaré nos indica que el número de caras (C), el de vértices (V), el de aristas (A) están relacionados con el género (g) mediante la expresión:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> </span><a href="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C-A&plus;V%3D2-2g%3D2-2%5Ccdot%201%3D0" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" id="equationview" name="equationview" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C-A&plus;V%3D2-2g%3D2-2%5Ccdot%201%3D0" style="font-family: arial, helvetica, sans-serif; margin-top: 10px; text-align: center;" title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Usando el esquema de montaje, de Sarah Marie Belcastro, que puede verse en el siguiente <a href="http://sms.math.nus.edu.sg/smsmedley/Vol-34-1/PHiZZy%20Donuts%20&%20Cola%20Modelling%20Surfaces%20with%20Modular%20Origami%20(Lee%20Jian%20Le,%20Lim%20Jia%20Wei%20and%20Lu%20Yongquan).pdf">artículo</a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTnFcmm6PcNQj7T48c7tyG7uLJe9SVfa2UMbMbnw7aW_4TC-U3lc4TeAxjUs0tJM-FU5wZUeAMznrQfKCSCG5Vz0ynIPoQep7YU_44kuKO4hmW6jirGFojmQDWIy-krB2dXUkxa6B4FYVR/s1600/Esquema+toro+105.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="341" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTnFcmm6PcNQj7T48c7tyG7uLJe9SVfa2UMbMbnw7aW_4TC-U3lc4TeAxjUs0tJM-FU5wZUeAMznrQfKCSCG5Vz0ynIPoQep7YU_44kuKO4hmW6jirGFojmQDWIy-krB2dXUkxa6B4FYVR/s400/Esquema+toro+105.jpg" width="400" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">debemos usar 5 octógonos, 10 pentágonos y 20 hexágonos para realizar nuestra construcción, en total C=35. Como cada vértice está determinado por tres aristas y cada arista sirve para construir dos vértices, se tienen V=(105/3)*2=70 vértices. Dos caras tienen en común una arista, por lo que el número de estas es A=(5*10+20*6+8*5)/2=105 aristas. Claramente, los valores obtenidos, satisfacen la ecuación de Euler-Poincaré. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ya sólo nos queda ponernos manos a la obra, y fruto de todo ello son estas imágenes:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJhORpRQuLhWhXtnYhx_jF5er4xptSu6fCa7d8P5PptacQvNoxZQyp0gfJMlSq0PjQQ-RTPvoYws_HyQ0H1w9Nj84YaopjopJCYyh9Jcwa4yZBbgkkC5dI-Uxqq9zN4NM66H4ZGbRIhU-1/s1600/20160418_133832.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJhORpRQuLhWhXtnYhx_jF5er4xptSu6fCa7d8P5PptacQvNoxZQyp0gfJMlSq0PjQQ-RTPvoYws_HyQ0H1w9Nj84YaopjopJCYyh9Jcwa4yZBbgkkC5dI-Uxqq9zN4NM66H4ZGbRIhU-1/s640/20160418_133832.jpg" width="640" /></span></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUr81VMBdvTbbWKupPlbCV9E8J7wVX-P9RUVq9xMeiv7TpxiACV6BzWOLZtFSp_BZDzc9Pa4VMyU3vrp9uzAAqK0jNufxhGpiwOSr8oqVaeI5KRDMT6mZX2HUHQsVJalFQhYsq6z9-TUya/s1600/20160421_123235.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUr81VMBdvTbbWKupPlbCV9E8J7wVX-P9RUVq9xMeiv7TpxiACV6BzWOLZtFSp_BZDzc9Pa4VMyU3vrp9uzAAqK0jNufxhGpiwOSr8oqVaeI5KRDMT6mZX2HUHQsVJalFQhYsq6z9-TUya/s640/20160421_123235.jpg" width="640" /></span></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha-l4Yvz7wChKo9KQZ6TFGRzBFeedtWhkqFzVLe4SyXzwgvYS5xtRRWCPeuwHfp4wtmf7ULnWVvgtipFYLlFB6m_df4-Dl_58FxGAMUbbOsNqQWWMYELuBORjeUSigeKrk2fsezPMsawJ5/s1600/20160421_133152.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha-l4Yvz7wChKo9KQZ6TFGRzBFeedtWhkqFzVLe4SyXzwgvYS5xtRRWCPeuwHfp4wtmf7ULnWVvgtipFYLlFB6m_df4-Dl_58FxGAMUbbOsNqQWWMYELuBORjeUSigeKrk2fsezPMsawJ5/s640/20160421_133152.jpg" width="640" /></span></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Esta proyecto forma parte de la propuesta de la Feria de la Ciencia en Sevilla <a href="http://www.feriadelaciencia.org/wp-content/uploads/sites/2/2016/04/80.pdf">"¿Qué superficie topológica tengo en mis manos?. Juguemos a ser topólogos"</a>, y que en nuestro Centro (IES Alborán, Almería) estamos desarrollando junto al profesor José María Lirola con alumnos de 4º de ESO.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">En esta andadura, estamos muy bien acompañados por José Luis Rodríguez (UAL), Lidia García (IES Francisco Montoya), Teresa Segura (IES Algazul) y Eva Acosta (IES Santo Domingo). </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">NOTA: Otra propuesta de triangulación del toro, fue realizada por José Luis usando polifieltros, y puede ser consultada en la siguiente entrada de su <a href="http://www.polifieltros3d.com/2013/05/tessellations-of-surfaces-with-3d.html">blog</a>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="background-color: white; color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;">Esta entrada participa en la </span><a href="http://bit.ly/1Sdb98o" style="background: rgb(255, 255, 255); border: 0px; color: #2a700d; font-family: georgia, 'bitstream charter', serif; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">Edición 7.3</a><span style="background-color: white; color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;"> del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es </span><a href="http://pimedios.es/" style="background: rgb(255, 255, 255); border: 0px; color: #2a700d; font-family: georgia, 'bitstream charter', serif; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">pimedios</a><span style="background-color: white; color: #333333; font-family: "georgia" , "bitstream charter" , serif; font-style: italic; line-height: 24px;">.</span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-5944273274812034412015-06-28T09:47:00.000+02:002016-05-31T22:09:12.643+02:00La Deuda griega<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;">
<br /></div>
<span style="font-size: small;">Esta entrada, no será en términos púramente económicos. Más al contrario, es una modesta reflexión sobre la situación económica en Grecia, inspirada en una <a href="https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10207436711703840&set=a.4509328699167.2188038.1469082418&type=1&theater">entrada en Facebook</a> que pude ver el otro día. En la misma, se recordaba la deuda que la Humanidad tiene, de forma inmaterial, contraída con Grecia: escultores, escritores, héroes, la Filosofía, el Teatro, grandes Reyes... Mi cónica mirada, que siempre busca en la dirección que me interesa, echó en falta a los matemáticos. A ellos van dedicadas mis palabras y el eco de las mismas, al que quiera oir en vez de escuchar.</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Una búsqueda en <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Matem%C3%A1ticos_de_la_Antigua_Grecia">Wikipedia</a>, arroja 43 páginas en las que se recogen los matemáticos de la Antigua Grecia. Por destacar algunos:</span></div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><span style="font-size: small;"><b>Euclides</b> (ca. 325-ca. 265 a. C.), es conocido como "El Padre de la Geometría". El universo del saber matemático de la época fue recopilado por él en sus<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides"> Elementos</a>, obra cumbre de la disciplina que tuvo absoluta vigencia hasta el s. XIX. Es más, en los libros de Primaria y Secundaria, es la Geometría de Euclides la que impera.</span></li>
<li><span style="font-size: small;"><b>Apolonio de Pérgamo</b> (ca. 262 a. C- ?), conocido como "El gran geómetra", cuyos estudios versaron sobre las secciones cónicas y le debemos los nombres de elipse, hipérbola y parábola.</span></li>
<li><span style="font-size: small;"><b>Herón</b> <b>de Alejandría</b> (siglo I d. C.) que destacó en otros campos del saber y al que le debemos la fórmula para calcular el área de un triángulo, conociendo las longitudes de sus lados: <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n">la fórmula de Herón</a>.</span></li>
<li><span style="font-size: small;"><b>Diofanto de Alejandría</b> que vivió en el s. III d. C y es considerado "el padre del álgebra". Las ecuaciones de las que buscamos las soluciones enteras, son conocidas como <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diof%C3%A1ntica">ecuaciones diofánticas</a>. </span></li>
<li><span style="font-size: small;"><b>Pappus de Alejandría</b> <span style="font-weight: normal;">(s. III-IV d. C)</span><span style="font-weight: normal;">, que hizo importantes contribuciones en el campo de la geometría</span>. <span style="font-weight: normal;">El teorema que lleva su nombre, se estudia actualmente cuando hablamos de geometría proyectiva (y que por cierto, yo estudié).</span></span></li>
</ul>
<span style="font-size: small; font-weight: normal;">En esta lista, se podría completar con: </span><span style="font-size: small;">Amintas de Heraclea, Anaxímenes, Antifonte de Atenas, Aristarco de Samos, Aristilo, Arquitas, Asclepio de Tralles, Ateneo el Mecánico, Attalus de Rodas, Autólico de Pitane, Conon de Samos, Ctesibio, Demócrito, Dinóstrato, Diocles, Eratóstenes, Eudoxo de Cnido, Eutocio, Esporo de Nicea, Gémino de Rodas, Hiparco de Nicea, Hipaso de Metaponto, Hipatia, Hipias de Élide, Hipócrates de Quíos, Menecmo, Menelao de Alejandría, Metón, Nicómaco de Gerasa, Nicomedes, Pitágoras, Claudio Ptolomeo, Téano, Teeteto, Teodoro de Cirene, Teodosio de Bitinia, Teón de Alejandría, Tales de Mileto...<span style="font-weight: normal;"> </span></span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span>
<span style="font-size: small; font-weight: normal;">Hasta el ideal de belleza, la razón áurea, se la debemos a Fidias. Cuando consideramos un cuerpo, una escultura, una ventana, los paquetes de tabaco, las tarjetas de crédito,...todos tienen unas proporciones que ya establecieron los griegos.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span>
<span style="font-size: small; font-weight: normal;">Las consideraciones anteriores, me permiten realizar el silogismo:</span><br />
<ul><span style="font-size: small;">
</span>
<li><span style="font-size: small; font-weight: normal;">La Humanidad debe mucho al saber Griego.</span></li>
<span style="font-size: small;">
</span>
<li><span style="font-size: small; font-weight: normal;">La Humanidad debe ser protegida por las instituciones.</span><span style="font-size: small; font-weight: normal;"> </span></li>
</ul>
<span style="font-size: small; font-weight: normal;"></span><span style="font-size: small; font-weight: normal;"></span><br />
<ul><span style="font-size: small;">
</span></ul>
<span style="font-size: small; font-weight: normal;"><complete id="goog_566649612">________________________________________________</complete></span><br />
<span style="font-size: small; font-weight: normal;"><complete id="goog_566649612"> <b> </b></complete><b>Las instituciones deben proteger a Grecia</b></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: small; font-weight: normal;"><b> </b></span>Esta entrada participa en la edición 6.5 “primos de Mersenne” del
<a href="http://carnavaldematematicas.bligoo.es/">Carnaval de Matemáticas</a>, alojada en el <a href="http://blogs.algebra.us.es/">Blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla</a><br />
<br />
<br />
<ul>
</ul>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-29095841011765286192015-03-26T22:33:00.001+01:002015-04-22T22:25:33.467+02:00Trasmisión de mensaje con Braille: la alfombra de Sierpinski<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;">
</div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="http://www.iesdalias.es/clasica/">El IES Ciudad de Dalías</a>, se ha sumado al proyecto <a href="https://topologia.wordpress.com/2014/06/03/proyecto-alfombra-de-sierpinski/">Alfombra de Sierpinski</a>. Esta semana hemos confeccionado dos cuartas iteraciones con los alumnos de 1º y 2º de ESO. Tras introducirlos en el mundo de los fractales y presentarlos mediante diversos ejemplos, hemos procedido a trabajar la alfombra. La interrelación entre los alumnos, nos parece una aportación interesante que puede sumarse al proyecto.</div>
<div style="text-align: justify;">
Usando las plantillas de la alfombra (sin utilizar la columna que ocupa el lugar central de cada primera iteración), podemos escribir palabras de 8 letras de longitud usando el sistema <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Braille_%28lectura%29">Braille. </a> El mismo, usa seis puntos para simbolizar las letras. La codificación de los caracteres puede verse en la imagen adjunta:</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><img alt="El Braille" border="0" class="aligncenter size-full wp-image-12059" src="http://www.escuelapedia.com/wp-content/uploads/El-Braille.jpg" height="306" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" width="400" /></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://topologia.wordpress.com/2014/06/03/proyecto-alfombra-de-sierpinski/">enlace web</a></td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span id="goog_1961932246"></span><a href="https://www.blogger.com/"></a><span id="goog_1961932247"></span></div>
<br />
<br />
Tras explicar a los alumnos las nociones básicas de este método de comunicación, les hemos pedido que reproduzcan su nombre usando el método Braille, siendo el resultado el que se puede apreciar:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqwv-7-7WyEmcQQrUkAFnlhYiCkt4VNEOln2Z1eoV4s5SrOqOSN5w7HqIASo2kc1UL6cAyvsGlGtuElOjNENTtoSOXf_K2MoDn9oQvqaFm3xT9wl5-jMziT0DgR77Rpb6mvGK8c_fEARn6/s1600/2015-03-25+10.06.37.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqwv-7-7WyEmcQQrUkAFnlhYiCkt4VNEOln2Z1eoV4s5SrOqOSN5w7HqIASo2kc1UL6cAyvsGlGtuElOjNENTtoSOXf_K2MoDn9oQvqaFm3xT9wl5-jMziT0DgR77Rpb6mvGK8c_fEARn6/s1600/2015-03-25+10.06.37.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
En la foto, de izquierda a derecha, Elena, Dounia, Silvia, María Mei, María y Ana</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNnMn2IT2nfVtKq8hIDjTi-nXkcqg0DJNtQCN4-ZCzu0o5ST0opSOuDy2U4ukhMbBjdx05buX_5DXKH9quzXnzM9EduAzjHfbdhpxtf-5gpWI8rSM705AwgdI-zQWY8nBHi9QC273hmpkU/s1600/2015-03-26+10.17.28.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNnMn2IT2nfVtKq8hIDjTi-nXkcqg0DJNtQCN4-ZCzu0o5ST0opSOuDy2U4ukhMbBjdx05buX_5DXKH9quzXnzM9EduAzjHfbdhpxtf-5gpWI8rSM705AwgdI-zQWY8nBHi9QC273hmpkU/s1600/2015-03-26+10.17.28.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Esta última foto corresponde a una frase que los alumnos de segundo de ESO han reproducido y que el lector ávido de respuestas, puede descifrar.</div>
<div style="text-align: justify;">
Algunas de las imágenes tomadas durante el proceso de construcción, son las siguientes:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglFCi9RYF80LOhPREsC4bcpnheaXKufyevTE4NTXQLH5eD4jNJyJ2Ye7KEu6kwiMwURFQ2LsHTz0rOcrOKczTX8MZM4ZOR9Yo7lYeqPi85oBpNd65Ciph3fPrj2E6F15bA_wE8w5bLJMjg/s1600/2015-03-24+10.08.27.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglFCi9RYF80LOhPREsC4bcpnheaXKufyevTE4NTXQLH5eD4jNJyJ2Ye7KEu6kwiMwURFQ2LsHTz0rOcrOKczTX8MZM4ZOR9Yo7lYeqPi85oBpNd65Ciph3fPrj2E6F15bA_wE8w5bLJMjg/s1600/2015-03-24+10.08.27.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihBqkISy1HBfDbM-VlWrDn47EK6RQFgytvO9Foi4-510In0Gfhd1PQYMhkkErJSKWZHjKhjhL5yK4LbBx3eFyLhFDHifYh2KYkH63Of21NRtDEXXiFoQ0rYVkX-l4D7deRmx6U52LAtDbD/s1600/2015-03-24+10.08.32.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihBqkISy1HBfDbM-VlWrDn47EK6RQFgytvO9Foi4-510In0Gfhd1PQYMhkkErJSKWZHjKhjhL5yK4LbBx3eFyLhFDHifYh2KYkH63Of21NRtDEXXiFoQ0rYVkX-l4D7deRmx6U52LAtDbD/s1600/2015-03-24+10.08.32.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhyphenhyphensgnyIq3VDAMC2IFqllK-vPF_1i0wpMM30zKhBk7C0_UPw5hQjc5ZNdArqHMApEufvt_1leQMktf2fp8iQnfPXA4SsXCsQEgvC4Fp2rENdnovYJfRLDGpS13RFfzfulrI67Jf8X1tQNh/s1600/2015-03-24+10.08.58.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhyphenhyphensgnyIq3VDAMC2IFqllK-vPF_1i0wpMM30zKhBk7C0_UPw5hQjc5ZNdArqHMApEufvt_1leQMktf2fp8iQnfPXA4SsXCsQEgvC4Fp2rENdnovYJfRLDGpS13RFfzfulrI67Jf8X1tQNh/s1600/2015-03-24+10.08.58.jpg" height="480" width="640" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
Francisco Soler con sus alumnos de segundo de ESO</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsGYXeykm0CTwaXDZoqclAAjxUsYwfitUtTxEe3u74i07A6xhmDFx3zwkTlZFmKPjn5cBVCDcIotne9IUkCZvq5Fns3jeJylttA-T1cnjvEXGS-QRV03vxBLk5Gwr63CwgcHHURmk8PbKB/s1600/2015-03-24+10.21.37.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsGYXeykm0CTwaXDZoqclAAjxUsYwfitUtTxEe3u74i07A6xhmDFx3zwkTlZFmKPjn5cBVCDcIotne9IUkCZvq5Fns3jeJylttA-T1cnjvEXGS-QRV03vxBLk5Gwr63CwgcHHURmk8PbKB/s1600/2015-03-24+10.21.37.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrgh5sALByfOcrli4YOusd1Z78OindE65cijRRBvfif-lAeJh43Jvz1qy9Et3ZoBZVPbdlvDgvmpZdq2aEEybxpLuugzbQX6ZR6pYnleHj8Izbvdu3wCMaORe0CIhInwwj5Ph2PajMipib/s1600/2015-03-25+10.04.57.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrgh5sALByfOcrli4YOusd1Z78OindE65cijRRBvfif-lAeJh43Jvz1qy9Et3ZoBZVPbdlvDgvmpZdq2aEEybxpLuugzbQX6ZR6pYnleHj8Izbvdu3wCMaORe0CIhInwwj5Ph2PajMipib/s1600/2015-03-25+10.04.57.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifLUIjhT53M7hDsjsb56tgYg-CAgpsDFeJpP_aqpfkEPe3KlZqjoI5Kige6NYuVkyZjenQYFuBh2G5rzDcRdeRYv8Afc5mSMLOUyqAKXCp6BfDTQknAKs6GB1-th1c8afggZ82Qfa5J0LS/s1600/2015-03-25+10.29.13.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifLUIjhT53M7hDsjsb56tgYg-CAgpsDFeJpP_aqpfkEPe3KlZqjoI5Kige6NYuVkyZjenQYFuBh2G5rzDcRdeRYv8Afc5mSMLOUyqAKXCp6BfDTQknAKs6GB1-th1c8afggZ82Qfa5J0LS/s1600/2015-03-25+10.29.13.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6HO4be9Mharz3PFPp0IjaOh9YgxX2FvVAE865RY1K4C2OhmuvL2R5ODi3Y5nQPMq52DE1lW3C4PcHHEdIc2m5yYPHPDvoOiTviWa6z8topsXkwmRWNR5w9gUFaX2Z_KX65famDZDuFGqq/s1600/2015-03-25+10.29.37.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6HO4be9Mharz3PFPp0IjaOh9YgxX2FvVAE865RY1K4C2OhmuvL2R5ODi3Y5nQPMq52DE1lW3C4PcHHEdIc2m5yYPHPDvoOiTviWa6z8topsXkwmRWNR5w9gUFaX2Z_KX65famDZDuFGqq/s1600/2015-03-25+10.29.37.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
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<br /></div>
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En esta última foto, aparecen dos de mis abnegados compañeros de andadura, a la izquierda Ramón Manzano y a derecha Eduardo Joya (que aunque uno lleve el apellido y haga honor a él, hay muchas otras joyas en este Centro). Quisiera
agradecer, por su dedicación y entrega, al resto de compañeros del IES Ciudad de Dalías su predisposición y el interés que ha
suscitado en ellos esta actividad. Como no quiero perderme a ninguno,
los cito a <a href="http://www.iesdalias.es/clasica/index.php/personal">todos</a>. Amar aquello que hacéis, a pesar de todas las
adversidades a las que hay que enfrentarse día a día, es un valor inmarcesible del que disponen nuestra Sociedad. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Y sin ningun lugar
a dudas, mi gratitud para los alumnos de este pequeño IES, que para mí es enorme.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Espero, junto a <a href="https://topologia.wordpress.com/">José Luis Rodríguez Blancas</a>, que en las próximas fechas la Alfombra sea un vículo entre Centros distantes y que atendiendo a este código universal, nuestros alumnos puedan intercambiar experiencias.</div>
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<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
No quiera pasar por alto otra posibilidad didáctica alternativa y complementaria a la transcripción del mensaje en Braille, es la utilización del código <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/ASCII">ASCII</a>, que usaría las ocho casillas libres en la alfombra. Adelante, a explorar nuevas posibilidades de conocimiento y, por encima de cualquier otra cosa, a disfrutar de ello.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
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</div>
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David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-59829498738135397372015-03-18T20:49:00.002+01:002015-03-18T21:48:28.082+01:00II Jornadas de Escuela Moderna y Comunidades de aprendizaje<div style="text-align: justify;">
El sábado 14 de marzo, tuve el placer junto con mis incondicionales amigos <a href="https://topologia.wordpress.com/">José Luis Rodríguez Blancas</a> y Dolores Jiménez Cárdenas de presentar un taller en las <a href="https://escuelamoderna15.wordpress.com/">II Jornadas de Escuela Moderna y Comunidades de Aprendizaje</a>. Este foro, organizado por diversos agentes del mundo educativo, se ha desarrollado durante los días 13 al 15 de marzo en el IES Al-Andalus de la capital almeriense. Los 250 participantes conformaban una amalgama interesante: desde profesores de todos los niveles educativos, hasta alumnado universitario, pasando por miembros de AMPAS e inclusive opositores ávidos en su búsqueda de actividades originales para sus programaciones didácticas.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El tema central de nuestro taller eran los fractales, esos objetos geométricos que tantas alegrías nos están últimamente reportando. Tras un somero repaso de los conceptos que nos disponíamos a ver (pues lo heterogéneo de los asistentes así lo requería) y después de mostrar algunos aunque nutridos ejemplos, nos centramos en su aplicación al aula. </div>
<div style="text-align: justify;">
Las limitaciones del tiempo, hicieron que tuviésemos que centrar nuestra atención en lo más destacado de las actividades que estamos llevando a cabo. Siguiendo esta linea, presentamos tres propuestas:</div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><a href="https://topologia.wordpress.com/2014/10/21/fiesta-fractal-en-almeria/">Proyecto Megamenger </a></li>
<li><a href="http://matesdedavid.blogspot.com.es/2013/11/tetraedro-de-sierpinski-con-papiroflexia.html">Construcción de un tetraedro de Sierpinski con módulos de papiroflexia</a></li>
<li><a href="https://topologia.wordpress.com/sierpinski-carpet-project/">Proyecto Alfombra de Sierpinski </a></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
Los asistentes al taller, disfrutaron mucho con nuestras propuestas y juntos hicimos una alfombra de Sierpinski con una variante en el material utilizado: <a href="http://www.polifieltros3d.com/">Polifieltros3D.</a></div>
<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrY5eozzOusmZghb74rnKWbwCO0Hl8CZEjqeBZeO-ds9NxjK9HxnmaWUiKY39uRabqHHUC8v4Qsi1qByQWUNC2_Az2QR2po7_Ghy2PPdxo9jYdx8aiOOy0fMHd_WDIbwTrbFRUhydPI72K/s1600/603730_789838501106570_1074956582807057678_n.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrY5eozzOusmZghb74rnKWbwCO0Hl8CZEjqeBZeO-ds9NxjK9HxnmaWUiKY39uRabqHHUC8v4Qsi1qByQWUNC2_Az2QR2po7_Ghy2PPdxo9jYdx8aiOOy0fMHd_WDIbwTrbFRUhydPI72K/s1600/603730_789838501106570_1074956582807057678_n.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgb5iCmwY2hKsqEV7VmYsikD4PktRRRHDz0YX1nU9kx6vZjwJM8UhgDdf7BYPezllU6ZTXk3W-YvZm0RUsu5iocA461CE38lvXJp6vZpwyQRDU9i2L9ZI56pKx6rpm12sWPf8hJAVq-nXYt/s1600/10172806_789837744439979_5799439567261688754_n.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgb5iCmwY2hKsqEV7VmYsikD4PktRRRHDz0YX1nU9kx6vZjwJM8UhgDdf7BYPezllU6ZTXk3W-YvZm0RUsu5iocA461CE38lvXJp6vZpwyQRDU9i2L9ZI56pKx6rpm12sWPf8hJAVq-nXYt/s1600/10172806_789837744439979_5799439567261688754_n.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<br />
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</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF2jYb5reRWss_Go3I8KJWJR5eLg_eW31lEOo7KGS6UQfmreJR-KMtKyPeR6kUYCYbutM1e-t8rvr9KnLwLZiAqTh65I26sW27JCvJbu5Wt-_NZ5ypFhchagOL8lcZSrNLypDNBAU2VAuK/s1600/10363730_789837934439960_3852622314803799495_n.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF2jYb5reRWss_Go3I8KJWJR5eLg_eW31lEOo7KGS6UQfmreJR-KMtKyPeR6kUYCYbutM1e-t8rvr9KnLwLZiAqTh65I26sW27JCvJbu5Wt-_NZ5ypFhchagOL8lcZSrNLypDNBAU2VAuK/s1600/10363730_789837934439960_3852622314803799495_n.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4TEEBWwFJouYcTaXAP6YPxiuJNAi34RqJOf0z-MdtkzxD5MDlwcL0b-QSnCY3UGNHK4hLuoZjKtYXvXiSS4cdv0ZJkKy4Xe0hxMNdEdxV6t4vS94xuAkI82g_JeIGT3KQwSwoL9LOUCAL/s1600/10430430_789837724439981_757309069068569820_n.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4TEEBWwFJouYcTaXAP6YPxiuJNAi34RqJOf0z-MdtkzxD5MDlwcL0b-QSnCY3UGNHK4hLuoZjKtYXvXiSS4cdv0ZJkKy4Xe0hxMNdEdxV6t4vS94xuAkI82g_JeIGT3KQwSwoL9LOUCAL/s1600/10430430_789837724439981_757309069068569820_n.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyODRKKOsKkbxd7ujjIXhwe69Ih9oygc__aSXat14QruVXVUgENzlj16rxOTj0q1W2A1A35A0OvxoqpVXFE5h5yFcziP50hxPGk7YMESzh5rwLl_iA-plfkujNk-dxpy0J5UgstMkRcgh0/s1600/10645016_789838007773286_7303178205088089426_n.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyODRKKOsKkbxd7ujjIXhwe69Ih9oygc__aSXat14QruVXVUgENzlj16rxOTj0q1W2A1A35A0OvxoqpVXFE5h5yFcziP50hxPGk7YMESzh5rwLl_iA-plfkujNk-dxpy0J5UgstMkRcgh0/s1600/10645016_789838007773286_7303178205088089426_n.jpg" height="480" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
El álbum completo de las fotos que realizamos, se puede consultar <a href="https://www.facebook.com/media/set/?set=a.789837691106651.1073741839.657397754350646&type=1&notif_t=like">aquí</a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
Agradecemos el entusiasmo de los participantes y el interés demostrado por las actividades que propusimos. Por si algo quedó en el tintero y para poder recordar lo que tratamos de exponer, os dejamos la presentación que usamos.</div>
<iframe allowfullscreen="true" frameborder="0" height="749" mozallowfullscreen="true" src="https://docs.google.com/presentation/d/1wyBdBcxZd5XgZ8AfpLNiZ2EtJ07QcBF7boQgSHbCTU0/embed?start=false&loop=false&delayms=3000" webkitallowfullscreen="true" width="960"></iframe>
<br />
<ul>
</ul>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-72972145601685437532015-01-01T13:41:00.001+01:002015-01-02T07:17:33.834+01:00Campagadas 2015 en Canal Sur<br />
<div style="text-align: justify;">
Anoche tuve el triste honor de ver las campanadas que despiden el año, siguiendo la cadena autonómica Canal Sur, que emitía este evento desde la plaza de la Catedral de Almería. Como entusiasta de mi tierra, no podía perder la oportunidad de comerme las uvas con semejante entorno. Pueden ver el resultado del mismo aquí:<br />
</div>
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</div>
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<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/ejLTmkPK9BE?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
En este otro video grabado desde Polonia por unos andaluces que querían terminar el año con el ritmo de sus orígenes, se desvela el otro lado del televisor y las sensaciones encontradas que se nos quedaron:<br />
<br />
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</div>
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<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/Vef1TdQFrfw?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
Aunque el título de este post puede parecer algo brusco, voy a justificar lingüísticamente su precisión. Campagada es el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Acr%C3%B3nimo">acrónimo</a> resultante de las palabras campanadas y cagada. A su vez la RAE, en su cuarta acepción, define <a href="http://lema.rae.es/drae/?val=cagada">cagada</a> como "acción que resulta de una torpeza". Sin entrar a valorar lo que es obvio, me refiero a la cagada, voy a explicar el funcionamiento de la distribución del tiempo mediante los husos horarios.</div>
<div style="text-align: justify;">
Si tenemos en cuenta que el periodo de rotación de la Tierra es de 23 horas, 56 minutos y 4 segundos <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Capprox" id="equationview" name="equationview" title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." /> 24h, al dividir los 360º de una vuelta completa de este movimiento entre 24, aparecen los husos horarios, es decir, las porciones del globo terráqueo comprendidas entre dos meridianos. Se acepta que estas regiones tienen la misma hora y su amplitud es de </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B360%7D%7B24%7D%3D15%5E%7Bo%7D" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B360%7D%7B24%7D%3D15%5E%7Bo%7D" id="equationview" name="equationview" title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." /> </a></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
El meridiano cero, es el que pasa por Greenwich y como podemos observar, atraviesa la Península Ibérica</div>
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</div>
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</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="http://almez.pntic.mec.es/%7Ejmac0005/ESO_Geo/TIERRA/Fotos/Los%20husos%20horarios.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://almez.pntic.mec.es/%7Ejmac0005/ESO_Geo/TIERRA/Fotos/Los%20husos%20horarios.JPG" height="354" id="_x0000_i1036" width="573" /></a></div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es" style="text-align: justify;">
<span dir="auto">Así, si un uso horario se encuentra al oeste del de Greenwich habrá que restar una hora al reloj y si es al este sumar una hora, por cada huso horario de distancia al de Greenwich respectivamente (recordemos que el movimiento de rotación es de oeste a este).</span></div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es" style="text-align: justify;">
<span dir="auto">Las coordenadas geogáficas de Almería son </span>36°50′17″N 02°27′35″W. El primero de estos números es la Latitud, e indica la distancia al paralelo 0º (Ecuador) y en el hemisferio norte. El segundo, la longitud, indica la distancia al meridiano de Greenwich, en dirección oeste. Aunque se asume que tenemos la misma hora que Madrid, Barcelona o Sevilla, esto no deja de ser una simplificación de los cálculos. Realmente, en Almería tenemos una hora algo inferior que en Barcelona y algo superior a Sevilla. Concretamente, respecto de Grennwich hay:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B2%5E%7Bo%7D27%2735%22*60%7D%7B15%5E%7B%5E%7Bo%7D%7D%7D%5Capprox%2027%5Ctext%7B%20minutos%20y%20%7D%2048%20%5C%20%5Ctest%7B%20segundos%7D" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B2%5E%7Bo%7D27%2735%22*60%7D%7B15%5E%7B%5E%7Bo%7D%7D%7D%5Capprox%209%5Ctext%7B%20minutos%20y%20%7D%2050%20%5C%20%5Ctest%7B%20segundos%7D" id="equationview" name="equationview" title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." /></a></div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es" style="text-align: justify;">
Podemos concluir, que si tardamos menos de estos escasos diez minutos en reponernos del soponcio de las campagadas, nos tomamos las uvas a tiempo (incluso antes de tiempo). Esta disquisición es extensible al resto de provincias andaluzas, pues su situación geográfica es más al oeste de Almería.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://esdocs.org/pars_docs/refs/63/62114/62114_html_m79b265fd.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://esdocs.org/pars_docs/refs/63/62114/62114_html_m79b265fd.png" height="286" id="irc_mi" style="margin-top: 7px;" width="320" /></a></div>
En cualquier caso, </div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es">
<br /></div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es" style="text-align: center;">
<span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: x-large;"><b>FELIZ 2015</b></span></span></div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es">
<br /></div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es">
<br /></div>
<div class="firstHeading" id="firstHeading" lang="es">
<br /></div>
David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7597036811954856796.post-78164632815741040942014-12-03T00:12:00.001+01:002017-02-18T08:44:14.949+01:00Hueso NazaríAprovechando las nuevas herramientas que he aprendido en el curso que estoy finalizando, Geogebra Avanzado, que organiza la <a href="http://thales.cica.es/">SAEM Thales</a> he construido un applet en el que se explica la construcción de la tesela hueso nazarí. Espero que la disfrutésis y cuando tengáis ocasión de visitar la Alhambra de Granada lo podáis ver decorando las paredes de los Palacios Nazaríes<br />
<iframe height="673px" scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/362335/width/1278/height/673/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/preferjava" style="border: 0px;" width="1000px"> </iframe>David Crespohttp://www.blogger.com/profile/14711653246008526958noreply@blogger.com0