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lunes, 25 de abril de 2016

Toro de papiroflexia: 360 módulos phizz




La entrada de la construcción del toro con 105 piezas, se ve ampliada con esta otra en la que vamos a describir algunas particularidades sobre la superficie y el ensamble de esta construcción, hermana mayor de la anterior.
En primer lugar, vamos a detenernos en los diseños, prestando atención a los polígonos que pueden intervenir en la misma. Puesto que el módulo que emplearemos es el phizz (véase su construcción y montaje aquí) y con el mismo se pueden hacer polígonos de cinco o más lados, supongamos que en la construcción del toro queremos emplear tres tipo de polígonos. A saber, p pentágonos, h hexágonos y k polígonos de n lados. Si notamos por C al número de caras, V al de vértices, A el de aristas y g el género de la superficie, todos estos valores se encuentran relacionados por la fórmula de Euler-Poincaré:

En nuestro caso además:
Sustituyendo en la fórmula de Euler -Poincaré y desarrollando la expresión resultante tenemos:




La expresión (*) tiene importantes consideraciones:
  • El polígono de menor número de lados que podemos usar con el módulo phizz, es el pentágono.
  • No podemos emplear, exclusivamente pentágonos y hexágonos.
  • El número de pentágonos, ha de ser proporcional al número de polígonos de n lados (donde el valor más pequeño de n es 7).
  • Si n=7, el número de pentágonos y de heptágonos empleados es el mismo (p=k).
  • Si n=8, el número de pentágonos es el doble que el de octógonos (p=2k, como ocurre en el toro 105).

Construcción del toro

Nuestra propuesta, incluye el uso de pentágonos (p=24), hexágonos (h=72) y heptágonos (H=24). Mediante las expresiones obtenidas anteriormente, resulta que la construcción resultante tiene:
  • A= 360 aristas
  • V= 240 vértices
  • C= 120 caras
y claramente 

Tras algún primer intento desastroso, pues las búsquedas en Internet te conducen en ocasiones a informaciones erróneas y las imágenes que encontraba, no permitían el detalle de las disposición de los polígonos, obtuvimos esta que si bien no se centra el estudio matemático de la superficie, por lo menos incluía un esquema acertado:
Phizz torus wireframe
Se trata de hacer dos copias de esta disposición, donde los hexágonos amarillos son compartidos y en la parte de abajo, comenzaríamos a construir nuevos heptágonos.
Dado que la actividad se llevó a cabo con nueve alumnos, vimos la necesidad de optimizar los recursos y diseñar un plan de trabajo que permitiese la participación de todos a la vez (cosa que es materialmente imposible si construimos directamente la figura). Para ello, diseñamos dos coronas, circulares empezando por 12 heptágonos cada una. Una vez cerrados los mismos, en la parte exterior se van sucediendo de forma alterna pentágonos con hexágonos, tal y como puede apreciarse en las fotos siguientes:




Y ahora nos toca ensamblar ambas piezas; para ello tendremos en cuenta:


  • Al unir la parte central (módulos rojos con amarillos) debemos eliminar dos de los amarillos y en su lugar ocuparlos por rojos. Este exceso de trabajo, se debe a la morfología del módulo, pues el sobrante amarillo, hace que el heptágono no se desarme.
  • En la parte externa: 
                   - Unimos los módulos situados bajo los pentágonos mediante un nuevo módulo, cerrándose así dos hexágonos.
                   - Ensamblamos los módulos situados bajo los hexágonos (nuevamente hay que eliminar dos módulos) generándose tres hexágonos.
Culminamos nuestra construcción, con las imágenes finales:




Ya sólo me queda agradecer el trabajo de mis alumn@s de 4ª de ESO Díver y esperar que esta experiencia les haya enriquecido tanto como a mi. Nuestro proyecto en la Feria de la Ciencia, en Sevilla, creo que tiene en ellos unos grandes divulgadores.

NOTA: El Profesor D. José Ignacio Royo (UPV-EHU), tiene un artículo sobre origami muy interesante, en que pude aclarar ciertas dudas clave de la culminación de este trabajo. y cuya lectura es de gran interés. 



Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

sábado, 23 de abril de 2016

Educando en valores desde el área de Matemáticas. Las mil grullas de sadako

El pasado sábado 9 de abril, se celebró en la UAL la III Jornada de Profesorado de Matemáticas de Almería, a la que asistieron más de 100 profesores de todos los niveles educativos. Este evento coincidía con el vigésimo aniversario de la Titulación de Matemáticas en nuestra Universidad, razón sobrada para colaborar activamente en el mismo. Puesto que las aportaciones podían ser en forma de taller y póster, decidí participar en ambas. Así, impartí junto con Antonio Frías (UAL) un taller titulado "Módulos de papiroflexia para construir Geometría" en el que dimos unas pinceladas sobre distintos módulos y las posibilidades didácticas que entrañan los mismos. Puesto que el tiempo del que disponíamos era infinitamente inferior a las posibilidades que ofrece la papiroflexia, expusimos una colección de figuras anteriormente realizadas y que en su mayoría son fruto del buen hacer de Antonio.


Mi otra aportación fue un póster basado en una experiencia realizada en curso 2014/2015 en el IES Ciudad de Dalías. Abordamos la Educación en Valores, a través de las Matemáticas, mediante una actividad que si bien no es novedosa en cuanto al formato, si lo es respecto del enfoque: la construcción de las mil grullas de Sadako, usando los contenidos matemáticos que de ellas se desprenden.

Los pormenores de la actividad, así como los antecedentes históricos, se encuentra recogidos en el siguiente enlace en formato pdf, que espero disfrutéis tanto como lo hicimos nosotros (y el jurado de la actividad, que tuvo a bien galardonar el aporte).

Y por encima de cualquier otra cosa, la más importante por lo que supuso (y sigue teniendo la misma vigencia) es la grulla dorada.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

jueves, 21 de abril de 2016

Toro de papiroflexia: 105 módulos phizz


Ahondando en la pasión que siento por las construcciones con papel, vamos a explicar algunos datos sobre la elaboración de un toro usando técnicas de papiroflexia modular.
El toro, es un objeto geométrico que surge al hacer girar una circunferencia alrededor de una recta coplanaria a la misma, pero exterior a ella. Cualquier neófito, dirá que eso es un "Dónut" o parafraseando al gran Homer Simpson, una rosquilla!!!


La base de la construcción, es un módulo creado por Tom Hull llamado phizz (pentágono, hexágono y zigzag) cuya elaboración y el ensamble, pueden verse en el siguiente vídeo del Grupo Alquerque.
La elección de este módulo es debida, a pesar de su nombre, a que podemos realizar polígonos de un mayor número de lados (en concreto octógonos). La idiosincrasia del toro, con curvatura gaussiana negativa en su interior y positiva en la parte externa, hace que necesitemos una pluralidad de polígonos para obtener una triangulación de la superficie. Pensemos que podemos realizar mosaicos regulares con hexágonos, que al ser planos tendrían curvatura nula. Así, para obtener la positiva y la negativa, necesitamos transitar entre polígonos de un mayor número de lados para recubrir el interior y menor para el exterior.



Al tratarse el toro de una superficie orientable sin borde de género 1 (recordemos que el género de una superficie es el número de "agujeros"), la formula de Euler-Poincaré nos indica que el número de caras (C), el de vértices (V), el de aristas (A) están relacionados con el género (g) mediante la expresión:
                                                         
Usando el esquema de montaje, de Sarah Marie Belcastro, que puede verse en el siguiente artículo


debemos usar 5 octógonos, 10 pentágonos y 20 hexágonos para realizar nuestra construcción, en total C=35. Como cada vértice está determinado por tres aristas y cada arista sirve para construir dos vértices, se tienen V=(105/3)*2=70 vértices. Dos caras tienen en común una arista, por lo que el número de estas es A=(5*10+20*6+8*5)/2=105 aristas. Claramente, los valores obtenidos, satisfacen la ecuación de Euler-Poincaré.  

Ya sólo nos queda ponernos manos a la obra, y fruto de todo ello son estas imágenes:






Esta proyecto forma parte de la propuesta de la Feria de la Ciencia en Sevilla "¿Qué superficie topológica tengo en mis manos?. Juguemos a ser topólogos", y que en nuestro Centro (IES Alborán, Almería) estamos desarrollando junto al profesor José María Lirola con alumnos de 4º de ESO.
En esta andadura, estamos muy bien acompañados por José Luis Rodríguez (UAL), Lidia García (IES Francisco Montoya), Teresa Segura (IES Algazul) y Eva Acosta (IES Santo Domingo). 

NOTA: Otra propuesta de triangulación del toro, fue realizada por José Luis usando polifieltros, y puede ser consultada en la siguiente entrada de su blog.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.