Resumen Edición 5.2: Emmy Noether

Finalizado el plazo para la participación en la Edición 5.2: Emmy Noether del Carnaval de Matemáticas, toca hacer recuento de las mismas. La nueva experiencia de ser anfitrión de esta edición, ha sido muy intensa, ya que la producción de algunos blogeros es... infinita y más allá. Las entradas que me habeis comunicado al correo o al blog, he procurado dar acuse de recibo de las mismas y agradeciendo la participación. En las más nuevas, el trabajo del fin de semana en la L Edición de la Olimpiada Matemática Española  en la ciudad de Requena, me ha consumido una parte importante de los recursos y no he podido dirigirme a los participantes.

Sin más dilación, paso a relacionar los participantes en esta edición del Carnaval:

1. Conociendo frutas y verduras desde Planilandia, aportado por ZTFNews.org
2. El juego del jazz aportado por ZTFNews.org
3. PIkasle’s Mathematics, Magic and Mystery Workshop aportado por ZTFNews.org
4. Grace Chisholm Young aportado por ZTFNews.org
5. Noventa años sin García de Galdeano aportado por ZTFNews.org
6. Möbius ‘strip’, digo ‘strap’ aportado por ZTFNews.org
7. Día Mundial del Teatro, con Émilie aportado por ZTFNews.org
8. Centenario del nacimiento de Toru Kumon aportado por ZTFNews.org
9. PiClock, eso mismo, un pi-reloj aportado por ZTFNews.org
10. El legado de las matemáticas griegas… en dos minutos aportado por ZTFNews.org
11. Dos más dos son, según Adam Ries, cuatro  aportado por ZTFNews.org
12. La t de Student aportado por pimedios
13. Cristales y Matemáticas aportado por pimedios
14. El voraz algoritmo de Sylvester aportado por pimedios
15. Pompas de jabón. La belleza de las Matemáticas aportado por Juan Bragado.
16. Un puzzle sencillo aportado por culturacientifica.com
17. La probabilidad y el amanecer aportado por Matifutbol
18. Si nunca ha pasado, ¿qué probabilidad hay de que pase? aportado por Blioquinfo
19. Jugando con un almanaque aportado por matemasticasmaldonado
20. Información, probabilidad, bits, el juego de las preguntas y las entropías aportado por cienciaonline
21. XXX Olimpiada Matemática Thales aportado por elmundoderafalillo
22. ¿Cuántos huevos Kinder tendré que comer? aportado por Blioquinfo
23. Topología Bilbaína aportado por Pikasle
24. Premio#CarnaMat51 aportado por Tito Eliatron Dixit
25. La paradoja de la copa de Martini...integral aportado por Naukas
26. El Istikmal de Al Mutamán aportado por Guirnalda matemática
27. Matemáticas y animación 3D: un proceso creativo aportado por Tito Eliatron Dixit
28. Membrana N-Luz Objetos N-Luz aportado por  Icaraideas
29. Media armónica focal aportado por Guirnalda matemática
30. ¿Figuras fractales con octaedros truncados? enviado por Juegos Topológicos
31. Henry Moore enviado por  High Ability Dimension
32. II Día de las Matemáticas en el IES Chaves Nogales enviado por i-matematicas.com 
33. Matemáticas gamberras  enviado por Los matemáticos no son gente seria
34. ¿Qué narices es el cero? enviado por  Scire Science
35. Usemos un nuevo juguete: el cero  enviado por  Scire Science

Ya sólo me queda (si no me he dejado a nadie, que aunque espero que no, podría ser) animaros a la lectura de los post y a que elijáis el que más os guste. Para ello teneis hasta el día 16 de abril.

Mucha suerte a todos los participantes y enhorabuena por el nivel de las publicaciones.

Edición 5.2: Emmy Noether

Me complace anunciaros que este blog es el anfitrión del mes de marzo del Carnaval de Matemáticas. Esta edición que es la número 42, y siguiendo la sugerencia del blog pimedios, lleva el nombre de un matemático que tenga alguna efeméride en el mes de marzo. El pasado sábado 8 de marzo, se celebró el día internacional de la mujer y me parecía importante que fuese una mujer la que diese título a esta edición de la que alberga mi blog.

Emmy Noether, fue una matemática de origen judío, nacida en Erlangen (Alemania) el 23 de marzo de 1882, cuyos trabajos versaron sobre Física Teórica y Álgebra Abstracta. Aunque cursó estudios para ser profesora de inglés y francés, los antecedentes familiares nutridos de matemáticos (entre los que se encontraba su padre que era profesor en la Universidad de Erlangen y sucesor en el puesto de Felix Klein) hicieron que se decantara por esta disciplina.

La homofobia reinante, hacía que las mujeres no pudieran matricularse en las Universidades y sólo extraoficialmente podían asistir como oyentes si el profesor de turno les concedía esta gracia. De esa singular manera, pudo Emmy recibir clases de mano de su padre en Erlangen. Un cambio en las leyes de admisión del alumnado, hizo que Noether pudiese acceder al doctorado y publicar su tesis con un trabajo sobre invariantes en 1907.

Su excepcional talento permitió que en 1915 pusieran sobre ella sus miradas David Hilbert y Klein, para que participase de sus proyectos en la Universidad de Göttingen. Allí, otra vez producto del rechazo hacia las mujeres, tuvo que impartir clase sin recibir a cambio ningún estipendio hasta 1919, en que finalmente recibió la aprobación para ejercer como profesora remunerada.

La ascensión de Adolf Hitler al poder en 1933 hizo que se proclamaran leyes antisemitas que impidieron a Noether continuar con su labor docente. Por este motivo, se trasladó a la Universidad de Bryn Mawr, en Pensilvania (EEUU), donde murió el 14 de abril de 1935, días después de haber sido sometida a una intervención quirúrgica.

Por último, vamos a recordar las normas de participación en el Carnaval:

Tienes que escribir una entrada en tu blog sobre algún contenido que verse sobre Matemáticas (y cuando digo algún, puede ser una foto) durante el periodo en que se encuentra abierta la edición del mismo, es decir, del 24 al 30 de marzo. En la misma, debes mencionar que tu post participa en la presente edición e incluir un vínculo al blog anfitrión Matesdedavid y la web del Carnaval de Matemáticas. A modo de referencia puede ser:

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid

Para tener un registro de las entradas y hacer más fácil la labor administrativa, se ofrecen tres posibilidades:

• Dejando una reseña de tu entrada en la web del Carnaval.
• Mediante un comentario en esta misma entrada con un link a tu aportación.
• Por correo electrónico a davidcasteleiro@hotmail.com.

Sólo me queda desearos una febril contribución a esta empresa en la que tengo el honor de participar.

Gracias a todos los que haceis posible este Carnaval.

El Teorema de Pick

El resultado que da título a esta entrada, ha sido para mí un auténtico descubrimiento así como un recurso fantástico, que no contemplan los Decretos que concretan el Currículo, para explicar Geometría en los primeros cursos de la ESO. Creo fírmemente que debemos conocer al autor, un verdadero desconocido:

Georg Alexander Pick (1859–1942) fue un matemático austriaco nacido en el seno de una familia de origen judío. Su educación inicial estuvo a cargo de su padre hasta que cumplió los 11 años. En 1875 ingresó en la Universidad de Viena y al año siguiente publicó su primer artículo sobre matemáticas, con apenas diecisiete años de edad. Estudió Matemáticas y Física, graduándose en 1879, lo que le permitió tener la formación adecuada para enseñar ambas disciplinas. Tras defender su tesis doctoral, ejerció como asistente en la Universidad Alemana de Praga, en la actual República Checa, donde en 1888 fue nombrado profesor.

Sus 67 publicaciones matemáticas, abordaron distinto campos, siendo su aportación más importante el llamado Teorema de Pick, que apareció en un artículo en 1899. Este resultado no tuvo gran notoriedad hasta que el matemático Hugo Steinhaus Dyonizy lo incluyó en su Mathematical Snapsghots (1969). 

Pick fue nombrado rector de la Facultad de Filosofía de Praga en 1901 En 1910 fue el principal impulsor de la candidatura a Catedrático de Física de Albert Einstein (cargo que ocupó hasta 1913) y durante estos años los dos se volvieron amigos íntimos tanto por sus intereses científicos, como por su gran afición por la música.

En 1927 pasó a ser profesor emérito de la Universidad de Praga y abandonó toda actividad académica. Pick fue elegido miembro de la Academia de Ciencias y Artes de la República Checa pero los nazis lo excluyeron y enviaron al campo de concentración de Theresienstadt el 13 de julio de 1942 y murió dos semanas más tarde, a los ochenta y dos años.

Entrada al campo de concentración de Theresienstadt, con el mismo lema repetido en otros Campos: El trabajo libera  (Fotografía tomada de Wikipedia)

El Teorema de Pick es una fórmula que nos permite obtener el área de un polígono simple (que no tiene agujeros ni intersecciones de sus lados). Otra de sus exigencias es que las coordenadas de los puntos donde se traza el polígono sean enteras (puntos enteros), es decir en una malla reticular cuadrada.

Sea un polígono simple cuyos vértices son puntos enteros. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:

Ejemplo: Consideremos el polígono simple

Se observa que el número de puntos en su interior (marcados en rojo) es 13 y el número de puntos en el borde (marcados en azul) es 12. Por lo tanto su área viene dada por:

Símplemente...genial. Con unas hipótesis muy leves, podemos calcular el área de figuras sumamente intrincadas y además de una manera elegante. La demostración del mismo, puede hacerse usando el Principio de Inducción.  

Las posibilidades didácticas de este resultado son muy ámplias, pero como es de esperar, no es la panacea. De hecho, la restricción sobre las coordenadas enteras de los vértices hace que no podamos calcular, por ejemplo, el área de un triángulo equilátero (háganse las cuentas y en una de las coordenadas de los vertices tiene que aparecer ).

En clase de Tecnología, hemos construidos unos geoplanos con púas y sirviéndonos de lana de colores, realizamos actividades en las que se aplica el resultado de Pick. En la fotografía siguiente, se muestra el ejemplo anterior llevado a la práctica.

Os animo a que realiceis la experiencia, pues si ha ocurrido como en mi caso, ha resultará todo un éxito.

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

Tetraedro de sierpinski con papiroflexia

El Tetraedro de Sierpinski, es una generalización tridimensional del famoso triángulo, obra del matemático de origen polaco Waclaw Sierpinski (1882 -1969). Su construcción se realiza partiendo de un tetraedro. Sobre cada una de sus caras, marcamos los puntos medios de las aristas. Al unirlas, aparece un octaedro, el cual eliminamos. En las siguientes imagenes se muestran las cuatro primeras iteraciones del proceso:

Imagen tomada de http://fractales.org/el-tetraedro-de-sierpinski/

El número de tetraedros en cada iteración se ve multiplicado por cuatro. Por lo tanto, en la iteración n aparecen 4ⁿ tetraedros.

Este objeto fractal, tiene una de esas propiedades geométricas tan interesantes y a la vez tan extrañas, que hicieron que estos entes matemáticos se les denominase monstruos: El área del tetraedro original, es la misma que las figuras que resultan en cada iteración (pues las caras que se pierden en los tetraedros centrales, se ven compensadas por las caras interiores que van apareciendo). En cambio el volumen si va mermando, y tiende a cero. La primera consideración es obvia, con lo que me centraré en demostrar la segunda

Consideremos un tetraedro de arista a. Es fácil comprobar que el volumen del mismo es:

El volumen de cada iteración, es la mitad que el anterior y por lo tanto el de la iteración n sería:

 

La sucesión de los volúmenes, es una progresión geométrica de razón 1/2 cuyo límite tiende a cero.
La propuesta didáctica que nos hemos marcado para presentarla dentro del proyecto Juegos y joyas fractales, a la XII Feria de la Ciencia en Sevilla es construir la quinta iteración del tetraedro, pero...usando papiroflexia. Si, ya se que en papiroflexia no se usa pegamento, pero en cualquier caso, los tetraedros se van a realizar usando tecnicas de papiroflexia modular. Concretamente para formar cada uno de ellos necesitamos dos módulos triangulares.

Hacemos recuento de materiales, para la quinta iteración:

• 4⁵=1024 tetraedros

• 1024·2=2048 módulos triangulares (tamaño A5)

• Pegamento de secado rápido y lento (para hacer que las uniones tengan mayor superficie)

Tercera iteración

Esta entrada se irá completando con otras imágenes del proyecto

Entrevista en Interalmería

El pasado jueves 24, presentamos nuestro trabajo sobre trenzados árabes con cuerdas, ganador del premio Ciencia en Acción, en el programa Abierto hasta el Amanecer.
http://www.livestream.com/interalmeriatv/video?clipId=pla_8d3df053-374f-424d-ad02-d26d6838a5e5

Ciencia en Acción

Estamos de enhorabuena. El trabajo realizado durante el pasado curso 2012/2013 en el Colegio Agave en las asignaturas de Matemáticas y Tecnología, en base a una idea de José Luis Rodríguez Blancas profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Almería, ha dado sus frutos. Presentamos a la XIV edición del concurso Ciencia en Acción celebrada en Bilbao del 4 al 6 de octubre y el proyecto fue seleccionado como finalista.

Pretendíamos mostrar el estudio de los movimientos del plano (traslaciones, giros y simetrías) usando una manifestación artística de excepción: los mosaicos Nazaríes. En particular un tipo de ellos llamados lacerías y que son susceptibles de ser realizados usando hilos de colores. Tal propuesta, iba a ser abordada desde tres actividades:

• Construcción de distintas lacerías tanto de la Alhambra de Granada como de los Reales Alcázares de Sevilla

Lacerías y celosías de la Alhambra

Detalle de una lacería de la Alhambra

Lacería de los Reales Alcázares

• Utilización de la caja de espejos para partiendo del motivo mínimo se reprodujese todo el mosaico

• Simetrías ocultas, mediante las cuales, podemos descomponer las lacerías en piezas como las de un puzle

 

 

Durante la edición del concurso fuimos galardonados con el premio Ágora, concedido por un jurado de chicos, como el proyecto más interesante para ser expuesto en la sala principal del edificio donde se produjo el evento. Aquí me teneis en nuestro stand, mostrando uno de los mosaicos realizados expresamente para el evento, usando un kit de José Luis Rodríguez que se podrá adquirir próximamente en la tienda de la Alhambra

Vista completa del stand

En esta instantánea podeis ver un momento de la visita del jurado. Las caras de los integrantes lo dicen todo

El mismo, compuesto por un elenco interdisciplinar de científicos, en el que no faltaron matemáticos como D. Manuel de León (director del ICMAT), D. David Martín (investigador del ICMAT) que se interesaron tanto por la construcción de los mosaicos, como por su contenido algebraico así como por la clasificación de los mismos. Especialmente quiero agradecer a D. José Ignacio Royo Prieto (profesor de UPV) su capacidad de transmitir en el taller de papiroflexia al que tuve la ocasión de asistir y que impartió en la mañana del sábado.

El proyecto ha sido galardonado con el primer premio ex aequo en la modalidad de Laboratorio de Matemáticas, concedido por el ICMAT, por la belleza de la presentación de los mosaicos con cuerdas y su utilidad como recurso didáctico para acercar las matemáticas de patrones geométricos.

Recogiendo el premio de manos de D. Manuel de León

  
Quiera agradecer enormemente a mis compañeros y amigos de andadura, Mari Carmen Sánchez Melero y José Luis Rodríguez Blancas, que por distintos motivos no han podido acompañarme en la final del concurso, su colaboración y dirección en el caso de José Luis, quien ha sido el alma máter y cabeza pensante del proyecto. No puedo dejar de mencionar a los excepcionales alumnos con los que contamos el curso pasado en tercero de ESO, verdaderos protagonistas en primerísima persona y adalices del proyecto, así como a la dirección del Centro por su apoyo incondicional y palabras de ánimo.

Especialmente quiero citar a mi esposa que aunque en la sombra, me ha facilitado las labores de padre y sin cuya comprensión y amor, las cosas no serían iguales.

  

Arte matemático II

Os dejo otra figura de George W Hart, y en este caso esta formada por 20 triángulos equiláteros. Puede verse como un sólido arquimediano, el icosaedro truncado, que tiene 32 caras ( los 20 hexágonos que se obtienen de los triángulos y los 12 pentágonos que quedan enmedio). Este poliedro es el que se ha usado durante mucho tiempo como modelo para los balones de Fútbol, ya que ocupa el 86,74% de la esfera circunscrita. Una vez que se infla, el porcentaje llega al 95%.

Arte matemático

Hace tiempo que vengo siguiendo las creaciones de George W Hart. Entre otras esculturas, encontramos esta que os dejo. Se genera a partir de 20 cuadrados a los que hay que realizar cuatro hendiduras para encajar las siguientes piezas y está inspirada en el icosaedro. Lo realmente edificante, es su montaje, pues hay que tener en cuenta la geometría del cuerpo para poder terminarla con éxito.
En el taller de matemáticas de tercero de ESO pretendo construir, junto con Tecnología otras figuras empleando otros materiales.

Experiencias con Polifieltros 3D

Bueno, pues os relato mi primera toma de contacto con el juego de Polifieltros 3D que hemos adquirido en el Colegio. En la sesión de hoy, quería que los alumnos de 1º de ESO conociesen el material, se familiarizaran con él y experimentaran. Para ello he planteado como actividad que pudieran manipular los polígonos y descubrieran cuáles de los que aparecen en el juego teselan el plano. Esto ha dado pie a deducir (a partir de un ejemplo) la fórmula que permite saber el valor de los ángulos interiores de un polígono regular, a saber, si tiene n lados cada ángulo mide 180(n-2)/n. Posteriormente he introducidos los mosaicos semiregulares, es decir, aquellos que pueden realizarse usando varios polígonos regulares con la condición de que alrededor de cada vértice han de estar presentes siempre los mismos polígonos y en el mismo número. Sin dificultad, puede demostrarse que sólo hay 8 posibilidades que paso a ilustrar. La notación n1, n2,..., nk, indica que hay un polígono de n1 lados, otro de n2 lados,..., otro de nk lados alrededor de un vértice. Si contáis bien ¿Falta uno? La solución en breve

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del  Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es i-matematicas.

3 3 4 3 4

8 4 8

6 4 3 4

12 3 12

6 3 6 3

12 4 6

3 3 3 4 4

3 3 3 3 6