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jueves, 3 de junio de 2021

Profundiza 2021: Manipulando con las Matemáticas a través de cúpulas geodésicas.

Esta vez, desde la trinchera del IES Santa María del Águila, he tenido la ocasión de coordinar un programa Andalucía Profundiza titulado Manipulando con las Matemáticas: cúpulas geodésicas.

El alumnado participante han sido 10 chicas y un chico de 3º y 4º de ESO, que cursan Matemáticas Orientadas a las enseñanzas académicas, cuyo interés por el conocimiento y de forma particular por la Matemática, bien merecen el esfuerzo añadido al ya arduo trabajo.

En las 8 sesiones llevadas a cabo durante los meses de abril y mayo, hemos ido desgranando múltiples cuestiones sobre Geometría, cuyo objetivo no era otro que el acercamiento a la consecución última del objetivo: construir cúpulas geodésicas y presentar en distintos concursos (aunque con ópticas diferentes) las ventajas que tienen este tipo de construcciones.

Entrando en materia, una cúpula geodésica es un poliedro construido partiendo de otros (generalmente los sólidos platónicos o regulares) al subdividir sus caras y hacer coincidir los vértices de las nuevas con la esfera circunscrita al poliedro original. La cúpula resultante se clasifica como nV, donde n denota las partes en que se divide la arista original, y es llamada frecuencia de la cúpula.

El origen de estos cuerpos, hay que situarlo en la década de 1940 cuando el inventor y arquitecto Richard Buckminster Fuller estudió las cúpulas geodésicas, culminando en 1954 con una patente que desembocó en encargos tan conocidos como el pabellón de EEUU en la Exposición Universal de Montreal (Canadá) en 1967 y que actualmente alberga la Biosphère, un museo dedicado al Medio Ambiente.
Biosphère de Montreal (fuente: Wikipedia)


Construcción y las Matemáticas que esconde


Partiendo del icosaedro (sólido platónico con 20 caras triangulares) y al subdividir sus aristas, generamos la cúpula 2V y en particular la semicúpula 2V, como muestran las figuras adjuntas:




La regularidad del icosaedro, hace que en cara vértice confluyan 5 aristas, de ahí que las que tienen color rojo conserven esa propiedad. Por su parte, las azules inciden en orden 6 (4 azules más 2 rojas) estando relacionadas las Aristas (30 rojas y 35 azules), el número de Vértices (10 de orden 6, 6 de orden 5 y 10 de orden 4) con el número de Caras (30 formadas por triángulos de aristas de distinto color y 10 en color azul) por la fórmula de Euler, para superficies orientables convexas y con un borde:

𝐶 + 𝑉 − 𝐴 = 1 ⇒ 40 + 26 − 65 = 1

El cálculo de la longitud de las aristas rojas y azules, está determinado por el radio R de la esfera circunscrita, e íntimamente ligado al número de oro:

Los requerimientos para una cúpula de 168 cm de radio son:
  • Tipo B: 35 aristas de 104 cm.
  • Tipo A: 30 aristas de  92 cm.
  • 10 vértices de orden 4.
  • 6 vértices de orden 5.
  • 10 vértices de orden 6.
En el siguiente vídeo, pueden verse los pasos del montaje:



Premio en el VII Certamen de Proyectos Educativos Ambientales de la UAL: Cúpulas geodésicas como viviendas sostenibles.

El Certamen de Ciencias Ambientales, es un concurso organizado por CECOUAL, cuya  VII edición tuvo lugar de forma presencial el pasado 21 de mayo en el Aulario I de nuestra Universidad. Entre los objetivos del evento, se encuentra 
"contribuir al desarrollo de la alfabetización científica de los estudiantes, así como a la necesidad de difundir y comunicar la ciencia para que los convierta en mejores ciudadanos; fomentar la conciencia ambiental entre los jóvenes; hacerles apreciar el papel fundamental del conocimiento en la conservación del medio ambiente y el desarrollo sostenible del planeta; y apoyar el desarrollo de habilidades transversales de comunicación oral y escrita, fomentando el sentido crítico y la capacidad de trabajo en equipo de los estudiantes."

 

El trabajo realizado por el IES Santa María del Águila, Cúpulas geodésicas como viviendas sostenibles, fue galardonado con el segundo premio de su modalidad, y de forma unánime el jurado felicitó al alumnado participante, destacando la calidad del proyecto presentado.

Este tipo de construcción tiene grandes ventajas desde el punto de vista de una vivienda sostenible:

  • La esfera resuelve el problema isoperimétrico, es decir, para un volumen dado, el cuerpo que minimiza el área que encierra es la esfera. Este hecho faculta a las esferas y de forma particular a las cúpulas geodésicas, a convertirse en estructuras que optimizan el material constructivo necesario para su realización.

  • La posibilidad de cubrir grandes distancias (recordemos que la Biosphère tiene 76 m de diámetro y 41,5 m de altura) sin el empleo de pilares, hace de su interior un espacio diáfano y versátil que puede ser adaptado a distintos usos y cuya posterior reforma no implica quebraderos de cabeza estructurales a la hora de demoler paredes o encontrarse con incómodas estructuras de hormigón que cercenen las necesidades futuras.

  • Suponen un considerable ahorro su construcción en tanto en cuanto los cimientos que requieren no son especialmente sobredimensionados, ni necesitan una roturación grande del terreno donde se vaya a situar.

  • Las cúpulas geodésicas tienen todas las orientaciones posibles, lo que minimiza el coste energético necesario para obtener un confort climático adecuado, con una temperatura casi uniforme todo el año. Además, se pueden incorporar sencillos sistemas de ventilación que permite una climatización geotérmica. Este es el caso de los pozos canadienses, que se encuentran formados por tuberías enterradas en el suelo a unos dos metros de profundidad, y que por el principio de inercia térmica consiguen, dependiendo de la zona climática, que la vivienda tenga un rango de temperatura en torno a los 20 º C en cualquier estación del año, sin consumir un solo kilovatio.
    (Dibujo de la alumna Asmae Errossafi, de un pozo canadiense)

  • Se pueden utilizar materiales naturales en su construcción, que garanticen un entorno sostenible. Algunos ejemplos destacados son la celulosa natural como aislante térmico, mortero de cal o corcho natural como envolvente, madera en estructura y cerramientos, paneles solares fotovoltaicos como recubrimientos para la obtención de agua caliente, baterías para almacenar electricidad y canalones o sumideros como sistemas de reciclaje del agua de lluvia.

  • Las ventajas aerodinámicas frente a las paredes planas convencionales que conforman los paramentos de las viviendas tradicionales, convierten a las cúpulas geodésicas en estructuras que pueden soportar mejor los envites de los vientos huracanados (nótese que los iglús, variantes de las cúpulas, han sido usados durante siglos como refugios temporales de los pueblos que habitan las regiones más hostiles del hemisferio norte).


(Dibujo del alumno Oussama Hrita)

Para finalizar, os dejamos el vídeo de la exposición frente al jurado en el VII Certamen, sin olvidarnos de agradecer a Juan Gisbert, Azucena Laguía y Esther Giménez su trabajo y entusiasmo, para propiciar el encuentro.










miércoles, 18 de marzo de 2020

Coronavirus y el modelo exponencial


Estos días de confinamiento obligado me han permitido leer sin cortapisas, una de mis aficiones más introspectivas. A falta de poder salir a la calle echando de menos ver el mar de cerca, el monotema que nos tiene absortos es el COVID-19 o coronavirus. Las noticias sobre él, alarmantes por momentos, se jalonan de algunas barbaridades que un matemático no puede leer sin que le piten los oídos.

los casos nuevos de Covid-19 no paran de aumentar día tras día. La curva de crecimiento es exponencial: incrementó de 0 a 100 en la primera semana, de 100 a 1.000 en la segunda semana y en la tercera semana todo apunta que se llegará a los 10.000.




Y claro, con la patente de corso de las Matemáticas y la Ciencia, cualquiera emite juicios sumarísimos que nuestras tragaderas tienen que aceptar; o no. Si un plumilla debe tener cerca un diccionario para consultar sus dudas léxicas, próximo debería tener a un matemático al hablar de una disciplina que quizá ni cursó en el Bachillerato.

Veamos cuáles son las dos grandes falacias de enunciados como estos:

        1. Crecimiento exponencial.

La función exponencial es una función real de variable real, considerada dentro del grupo de las elementales. Elementalmente, cualquier titulado en ESO y qué no decir de los Licenciados Vidriera que tienen a bien llenar las páginas de los periódicos y parrillas televisivas, debería conocerla. Se define cuando la base es un número real positivo, , como:


Claramente, dependiendo del valor que tome la base, la naturaleza de la función es distinta pudiendo ser decreciente si  o creciente cuando .
Resultado de imagen de funcion exponencial grafica
Aunque el lenguaje a veces pueda parecer excesivo, en un momento en el que se propugna el inclusivo y eternizamos las disertaciones con ellos y ellas, también debería se inclusivo el rigor para hablar de crecimiento exponencial de base mayor que 1.

        2. Modelo exponencial para cuantificar los infectados.


Si bien es cierto que localmente el crecimiento de la población de infectados puede tener un comportamiento que se asemeje a una función exponencial de base mayor que uno, este modelo se vuelve inconsistente ya que no tiene en cuenta las personas que curan de la enfermedad, ni las medidas de aislamiento.

En efecto, consideremos la siguiente tabla que muestra el número de infectados en España hasta el 17 de marzo:
DíaCasos confirmadosActivosRecuperadosMuertos
31 de enero1100
9 de febrero2200
13 de febrero3201
24 de febrero4301
25 de febrero8701
26 de febrero141301
27 de febrero262501
28 de febrero454401
29 de febrero595801
1 de marzo848301
2 de marzo12512401
3 de marzo16916702
4 de marzo22822413
5 de marzo28227633
6 de marzo365347108
7 de marzo43010
8 de marzo67417
9 de marzo123130
10 de marzo169536
11 de marzo227755
12 de marzo314686
13 de marzo52324906193133
14 de marzo63325603517193
15 de marzo78447035517292
16 de marzo99429070530342
17 de marzo1117896591028491
Dado que los datos diarios se han establecido desde el 24 de febrero y considerando un análisis de regresión exponencial por el método de los mínimos cuadrados, que se ajuste a los datos anteriormente descritos, se obtiene la función:


donde x denota el número de días transcurridos desde el 23 de febrero y f(x) el de personas infectadas.



Resolviendo una elemental ecuación, para determinar si es posible que toda la población que vive en nuestro país (47 100 396 en el segundo semestre de 2019) se va a infectar, resulta que:
Es decir, el 12 de abril estaremos todos infectados (el refrán español de aquí a 100 años todos calvos, tiene una versión vírica con 48 días).

Pero si el lector trata de extrapolar la función para ver cuál es su predicción con la población mundial, el 24 de abril estaríamos todos coronados.











viernes, 13 de julio de 2018

Peinando remolinos

Mi querida madre siempre ha asociado los remolinos en el pelo, con lo bendito del niño; si fuese matemática diría que los remolinos son prueba evidente de lo "malo" que es. Pero tengo que quitarle algo de razón, pues los remolinos tienen una explicación matemática que voy a tratar de explicar en este post veraniego.

remolino cabello bebé

Supongamos que nuestra cabeza es una esfera, y nos planteamos el objetivo  de peinarnos (entendiendo por tal alisar el pelo). Cada pelo, puede considerarse tangente a la cabeza y si dos pelos están próximos, sus direcciones han de ser "parecidas". Esta idea que en Matemáticas se expresa en términos de continuidad, es imposible, y el resultado que lo afirma se conoce con el llamativo nombre de Teorema de la bola peluda: llegará un momento, en el que un pelo debe hacer un giro o remolino.

Si la Naturaleza sabe o no Matemáticas, es una diatriba que con frecuencia suele ponerse sobre la mesa; lo cierto es que cuando el cuerpo se encuentra con esta disyuntiva, cosa que se produce en el útero materno, no le queda otra opción que escaparse con un remolino (y en ocasiones hasta dos). 

¿Tendrán las mujeres remolinos? claramente el Teorema enlazado anteriormente nos dice que sí, lo que ocurre que al llevar el pelo más largo, no se aprecian.

Una opción para ir "bien peinados" es hacerse la raya, con lo que se transgrede la idea de continuidad (pelo cercanos a ambos lados de la raya, tienen direcciones opuestas).
Resultado de imagen de puigdemont pelo

Pero el resultado, al margen de quitar hierro al asunto de los remolinos, tienen diferentes aplicaciones entre las que se pueden citar la meteorología o la Informática, con lo que los prácticos se habrán puesto más que contentos.

sábado, 23 de diciembre de 2017

No me ha vuelto a tocar la Lotería





Viendo que ayer nadie saltaba de alegría a mi alrededor, hoy me quedaba el consuelo de que alguno de los dos números que había comprado estuviese agraciado con una pedrea. Pero ni eso...

Hace días que llevo viendo artículos de múltiples colegas hablando sobre la probabilidad de que seamos agraciados con el gordo de la Lotería de Navidad, y en vista de que, nuevamente, ayer fue el día de la Salud , me he decidido a escribir sobre este fenómeno social que mueve a España un 22 de diciembre.

A vueltas con la Historia, nuestra Lotería Nacional data de 1763, cuando Carlos III importa un modelo arraigado en Nápoles, y que se llamaba Lotería Primitiva. Pero el sistema actual, hay que situarlo en 1811, donde la maltrecha Hacienda gubernamental, propició la creación de "un medio de aumentar los ingresos del erario público sin quebranto de los contribuyentes", teniendo lugar en Cádiz el primer sorteo el 4 de marzo de 1812.

Y con esa filosofía, el actual sistema por el que se rige la Lotería Nacional destina, en el caso del sorteo de Navidad, el 70% de la recaudación a premios. Dicho de otro modo, el 30% restante se queda en casa: un 25% para Hacienda y el 5% restante para Loterías y Apuestas del Estado, en concepto de gastos.

Pero desde 2013, por si fuese poco, los premios superiores a 2500€ están gravados con un 20% de retención en concepto de IRPF. Por este motivo, el primer premio dotado con 400 000€ se quedaría en 2500+397 500*0.8=320 500€

Veamos cómo es la distribución de los premios:

Cantidad
Premio al número (€)
Descripción
1
400 000 
El Gordo Primer Premio
1
125 000
Segundo Premio
1
50 000
Tercer Premio
2
20 000
Cuarto Premio
8
6 000
Quinto Premio
1794
100
La Pedrea
2
2 000
A los números anterior y posterior al primer premio
2
1 250
A los números anterior y posterior al segundo premio
2
960
A los números anterior y posterior al tercer premio
99
100
A la centena (tres primeras cifras) del primero premio
99
100
A la centena (tres primeras cifras) del segundo premio
99
100
A la centena (tres primeras cifras) del tercer premio
198
100
A la centena (tres primeras cifras) de los cuartos premios
999
100
A los números cuyas dos últimas cifras coincidan con las del primer premio
999
100
A los números cuyas dos últimas cifras coincidan con las del segundo premio
999
100
A los números cuyas dos últimas cifras coincidan con las del tercer premio
9999
20
Reintegro a los números cuya última cifra coincida con la del primer premio

La suma de la primera columna, arroja que el número de boletos agraciados es de 15 304, y por consiguiente, la probabilidad de obtener un premio es 15304/100 000=0,15304. O dicho de otra forma, aproximadamente el 85% de los billetes comprados irán directamente a la basura. Es por lo tanto bastante normal que mis 40€ hayan sido malgastados; aunque si Hacienda somos todos, he contribuido a la misma con 10€. Pero no sólo esto; los premios no repartidos son también ingresados en las arcas del Estado.
Resultado de imagen de bombo loteria navidad

Y si ayer tenía ilusión por el gordo, la probabilidad de que me hubiese tocado es de 1/100 000=0.00001, lo que explica que me encuentre igual de rico.

La sabiduría popular nos recuerda que, la suerte no es para el que la busca, sino para el que la encuentra. Y en ello sigo.




lunes, 22 de mayo de 2017

Cobertura de invernaderos con superficies regladas trigonométricas

En las pasadas JAEM celebradas Cartagena (julio de 2015) tuve la ocasión de asistir a un taller sobre superficies regladas en la Sagrada Familia impartido por Xavier Vilella Miró y Albert Martín López. Entre las distintas cuestiones que trataron, la que me suscitó un mayor interés, fueron unas superficies sinusoidales que Gaudí construyó en unas dependencias anexas al Templo.
Imagen tomada de http://www.etsav.upc.edu/cairat/esp/lini/lt18-esco.htm



Su capacidad para desalojar el agua de la lluvia, hace de ellas una opción elegante y práctica como cobertura de edificios. Mi abstracción, hizo que las eligiese como candidatas para las estructuras que inundan la  tierra almeriense, los invernaderos.
De forma periódica, ante grandes precipitaciones, estas explotaciones agrícolas suelen deteriorarse (cuando no hundirse) a causa de estos agentes atmosféricos.
Y la ocasión para seguir estudiando sobre ellas, vino de la mano de Esther Giménez y Juan Gisbert, profesores y organizadores del Certamen  de proyectos educativos de Ciencias Ambientales en la Universidad de Almería
Junto a mis alumnos de 4º de ESO en el IES Ciudad de Dalías, y puesto que teníamos que empezar con el bloque de Análisis dedicado a las funciones, me enfrasqué en un proyecto que demostrara la viabilidad de estas coberturas, constituyendo una alternativa realista a las que actualmente se realizan.
Para entrar en materia y situar al lector, empecemos por la definición:

"Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices."

Consideramos como directriz, la familia de funciones de la forma: 

Los parámetros a y b, inducen en la función contracciones y dilataciones (vertical y horizontal, respectivamente) que se pueden observar en el siguiente applet de Geogebra




Tras consultar con algunos profesionales y familiares que dedican su actividad productiva a la construcción de invernaderos, determinamos analíticamente, que la función que mejor se adaptaba a nuestros objetivos, era y=0.5sen(2.86):

  • La elección a=0.5, hace que el techo entre su valor más bajo y el más alto, tenga una distancia de 1m, lo que supera el espacio de aire que alberga frente a los más comunes, favoreciendo que la temperatura sea más constante a lo largo del año. 
  • El valor b=2.86 optimiza el espacio entre los postes verticales que suele ser en torno a los 2.2m. Este valor es la aproximación a dos decimales de 10𝛑/11, que se puede obtener al resolver la ecuación sen(bx)=sen[b(x+2.2)], particularizando para cualquier valor de la variable x, ya que esta restricción supone que la función tenga período 2.2.

Ventajas de estas coberturas

1. Garantizan el desplazamiento de la totalidad del agua de lluvia a la zona cóncava.

2. Los invernaderos tradicionales, no suelen tener pendiente en su techo, sino que es el suelo al que se le imprime la misma. Nuestra propuesta, pretende que el techo tenga una pendiente del 1%, en la dirección de las generatrices, que permite:

    i. Hacer converger todo el agua hacia uno de los lados del invernadero, canalizándola hacia una balsa, y realizando un aprovechamiento total de la misma, sin necesidad de canalones. 
  ii. Instalar en la zona más alta, aspersores conectados a un sistema de detección de peso sobre el techo. De esta forma, si se acumulase una cantidad que hiciera peligrar la estructura, los aspersores se podrían activar, derritiendo el granizo y canalizando todo el agua hacia la balsa al efecto. Otro de las utilidades de los aspersores, sería disminuir la temperatura de la techumbre en verano, pues el agua que se emplea es reutilizada (salvo evaporación).
  iii. La instalación de ventanas cenitales, en el sentido de las directrices, abiertas en la zona más alta, favorece que el aire caliente sea expulsado con mucha mayor facilidad. Los actuales invernaderos, suelen tener dichas ventanas abiertas hacia la dirección desde la que el aire sopla más fresco, pero no tienen mucha utilidad si la dirección del viento no es esta. 

4. El sistema de montaje, se basa en una misma pieza que se une a las siguientes mediante ensambles y sin necesidad de soldadura.


En la imagen anterior, la pieza base sería el segmento de la curva comprendido entre los puntos B y C. Los postes verticales que soportan la techumbre, se situaría en los mínimos de la superficie, en el dibujo marcados por A, C y D. La disposición regular de los postes, permite la instalación de una cobertura interior, que evite el exceso de luz y calor sobre las plantas, motorizando su uso, y evitando los periódicos blanqueos a los que los agricultores tienen que hacer frente, y que no tiene ningún efecto si después de aplicarlos llueve (la cal que se emplea, es disuelta por el agua, con el consiguiente perjuicio económico).


Completamos el trabajo, con la realización de una maqueta del diseño, usando palillos que simulan los alambres que tradicionalmente se emplean, sobre una piezas realizadas con una cortadora láser (y desde aquí agradezco la ayuda desinteresada y clave del arquitecto Javier Milán, mente inquieta y magnífico profesional). 














Y fruto de todo el trabajo realizado (memoria final, póster y maquetas) fuimos seleccionados para defender el trabajo frente el jurado, junto a otros 5 proyectos, de entre 30 presentados.



Momento de la exposición del trabajo. De izquierda a derecha: Natalia, Rosa y Elisa



El fallo del jurado, nos otorgó el segundo premio, que hizo las delicias de los alumnos.



Conclusiones

1. La superficie modelizada, permite recoger todas las precipitaciones, tanto líquidas como sólidas.
2. Al ser diferenciable, minimiza las roturas del plástico alargando su uso y reduciendo los residuos generados por sus frecuentes cambios.
3. Permite un mejor control de la temperatura, mejorando el desarrollo de las plantas y de sus frutos.
4. Reduce las consecuencias de los agentes atmosféricos, que producen serios destrozos y en ocasiones, el hundimiento de las estructuras.

El agua, un bien escaso

Tomando como dato la media de la serie histórica 1981-2010, 199.9 l/m², las 30.007 ha de cultivos invernados de la provincia podrían recoger una cantidad de agua que equivale al 29,4% del trasvase Tajo- Segura destinado a riego, o equivalentemente, el vertido del río Ebro al Mar durante casi dos días.

Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas

jueves, 27 de abril de 2017

Un paseo Matemático por la Catedral

Aunque este post surgió hace varios años, las coincidencias que hacen que los astros se alineen, me han decidido a escribirlo.
El estudio de las proporciones, aplicado a la Arquitectura, da lugar a bellas composiciones que con el paso del tiempo permanecen olvidadas aunque inalterables en forma de piedra. Este es el caso de un gran número de Catedrales y edificios singulares de los siglos XVI y XVII.
Puerta Principal de la Catedral de Almería

El caso que nos ocupa, es la Catedral-Fortaleza de la Encarnación en Almería, Su construcción dio comienzo a partir de 1522 con una doble función: dar amparo moral a los cristianos y protegerlos de las insurrecciones moriscas así como de los piratas berberiscos que asolaban el Mediterráneo. Dado que la construcción del templo finaliza en 1564 por Juan de Orea, incorpora elementos tanto góticos como renacentistas.
El estilo renacentista, toma muchos y variados ejemplos de la cultura Helénica, como es la utilización del número áureo así comos otro irracionales () que dan lugar a rectángulos cuyos lados guardan estas proporciones. Para la obtención del número de oro, tenemos que recurrir a la división en media y extrema razón de un segmento:
"Diremos que un segmento se encuentra dividido en media y extrema razón, si la medida mayor es media proporcional entre el total y la parte menor". Es decir, dado un segmento de longitud 1 (suposición que no resta generalidad, pues en otro caso basta con buscar el correspondiente homotético) y la longitud del lado mayor sea x. Entonces:


De estas dos soluciones, al descartar la negativa, llamamos número de oro a la restante, es decir:
Veamos cómo se realiza la construcción de los rectángulos áureo, es decir, aquellos en los que la razón de sus lados es :

Partimos de un cuadrado ABCD, de lado l, y marcamos el punto medio de uno de sus lados, dígase E. Con centro en este punto, y radio la distancia de E a C, trazamos un arco de circunferencia que cortará a la prolongación del lado AB en el punto F. El rectángulo AFGD, es áureo.
Para demostrar lo que se afirma, basta con calcular la dimensión del lado AF y comprobar que la razón que forma junto al lado AD, es 


Así:
En el caso de los rectángulos , las construcciones son similares, salvo que el centro de la circunferencia es un vértice del cuadrado (en el primer caso) y en el segundo un vértice de un rectángulo cuya base es el doble de la altura.
Y para que el lector pueda descubrir los rectángulos anteriores, en el Templo almeriense, sólo tiene que jugar con el siguiente aplet de Geogebra:



Los más excépticos, quizá puedan achacarme que el método empleado, no constituye una demostración, pero sigue la misma metodología expuesta por el profesor de la Universidad de Granada Álvaro Martínez Sevilla, en sus paseos matemáticos por Granada, a quien tuve el gusto de conocer en el V Encuentro de Geogebra celebrado en Málaga y divertirme con sus explicaciones.

¿Es necesario coger instrumentos de medida para comprobar la presencia de la proporción áurea en los monumentos? La respuesta es no; cuando pases frente a ellos, coje tu DNI (que también es un rectángulo áureo) y cerrando un ojo házlo coincidir con los que aparecen marcados en las fotografías en dorado; verás que son semejantes. Cuando el lector pasee por el centro de su ciudad, ya tiene un nuevo entretenimiento: buscar la proporción áurea. Adelante, que hay bastantes más ejemplos.
Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog Semillas.