miércoles, 20 de noviembre de 2013

El Teorema de Pick

El resultado que da título a esta entrada, ha sido para mí un auténtico descubrimiento así como un recurso fantástico, que no contemplan los Decretos que concretan el Currículo, para explicar Geometría en los primeros cursos de la ESO. Creo fírmemente que debemos conocer al autor, un verdadero desconocido:

Georg Alexander Pick (1859–1942) fue un matemático austriaco nacido en el seno de una familia de origen judío. Su educación inicial estuvo a cargo de su padre hasta que cumplió los 11 años. En 1875 ingresó en la Universidad de Viena y al año siguiente publicó su primer artículo sobre matemáticas, con apenas diecisiete años de edad. Estudió Matemáticas y Física, graduándose en 1879, lo que le permitió tener la formación adecuada para enseñar ambas disciplinas. Tras defender su tesis doctoral, ejerció como asistente en la Universidad Alemana de Praga, en la actual República Checa, donde en 1888 fue nombrado profesor.
Sus 67 publicaciones matemáticas, abordaron distinto campos, siendo su aportación más importante el llamado Teorema de Pick, que apareció en un artículo en 1899. Este resultado no tuvo gran notoriedad hasta que el matemático Hugo Steinhaus Dyonizy lo incluyó en su Mathematical Snapsghots (1969). 
Pick fue nombrado rector de la Facultad de Filosofía de Praga en 1901 En 1910 fue el principal impulsor de la candidatura a Catedrático de Física de Albert Einstein (cargo que ocupó hasta 1913) y durante estos años los dos se volvieron amigos íntimos tanto por sus intereses científicos, como por su gran afición por la música.
En 1927 pasó a ser profesor emérito de la Universidad de Praga y abandonó toda actividad académica. Pick fue elegido miembro de la Academia de Ciencias y Artes de la República Checa pero los nazis lo excluyeron y enviaron al campo de concentración de Theresienstadt el 13 de julio de 1942 y murió dos semanas más tarde, a los ochenta y dos años.


Entrada al campo de concentración de Theresienstadt, con el mismo lema repetido en otros Campos: El trabajo libera  (Fotografía tomada de Wikipedia)



El Teorema de Pick es una fórmula que nos permite obtener el área de un polígono simple (que no tiene agujeros ni intersecciones de sus lados). Otra de sus exigencias es que las coordenadas de los puntos donde se traza el polígono sean enteras (puntos enteros), es decir en una malla reticular cuadrada.



Sea un polígono simple cuyos vértices son puntos enteros. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:

 



Ejemplo: Consideremos el polígono simple





Se observa que el número de puntos en su interior (marcados en rojo) es 13 y el número de puntos en el borde (marcados en azul) es 12. Por lo tanto su área viene dada por:



Símplemente...genial. Con unas hipótesis muy leves, podemos calcular el área de figuras sumamente intrincadas y además de una manera elegante. La demostración del mismo, puede hacerse usando el Principio de Inducción.  

Las posibilidades didácticas de este resultado son muy ámplias, pero como es de esperar, no es la panacea. De hecho, la restricción sobre las coordenadas enteras de los vértices hace que no podamos calcular, por ejemplo, el área de un triángulo equilátero (háganse las cuentas y en una de las coordenadas de los vertices tiene que aparecer ).

En clase de Tecnología, hemos construidos unos geoplanos con púas y sirviéndonos de lana de colores, realizamos actividades en las que se aplica el resultado de Pick. En la fotografía siguiente, se muestra el ejemplo anterior llevado a la práctica.



Os animo a que realiceis la experiencia, pues si ha ocurrido como en mi caso, ha resultará todo un éxito.

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.








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