Tetraedro de sierpinski con papiroflexia

El Tetraedro de Sierpinski, es una generalización tridimensional del famoso triángulo, obra del matemático de origen polaco Waclaw Sierpinski (1882 -1969). Su construcción se realiza partiendo de un tetraedro. Sobre cada una de sus caras, marcamos los puntos medios de las aristas. Al unirlas, aparece un octaedro, el cual eliminamos. En las siguientes imagenes se muestran las cuatro primeras iteraciones del proceso:

Imagen tomada de http://fractales.org/el-tetraedro-de-sierpinski/

El número de tetraedros en cada iteración se ve multiplicado por cuatro. Por lo tanto, en la iteración n aparecen 4ⁿ tetraedros.

Este objeto fractal, tiene una de esas propiedades geométricas tan interesantes y a la vez tan extrañas, que hicieron que estos entes matemáticos se les denominase monstruos: El área del tetraedro original, es la misma que las figuras que resultan en cada iteración (pues las caras que se pierden en los tetraedros centrales, se ven compensadas por las caras interiores que van apareciendo). En cambio el volumen si va mermando, y tiende a cero. La primera consideración es obvia, con lo que me centraré en demostrar la segunda

Consideremos un tetraedro de arista a. Es fácil comprobar que el volumen del mismo es:

El volumen de cada iteración, es la mitad que el anterior y por lo tanto el de la iteración n sería:

 

La sucesión de los volúmenes, es una progresión geométrica de razón 1/2 cuyo límite tiende a cero.
La propuesta didáctica que nos hemos marcado para presentarla dentro del proyecto Juegos y joyas fractales, a la XII Feria de la Ciencia en Sevilla es construir la quinta iteración del tetraedro, pero...usando papiroflexia. Si, ya se que en papiroflexia no se usa pegamento, pero en cualquier caso, los tetraedros se van a realizar usando tecnicas de papiroflexia modular. Concretamente para formar cada uno de ellos necesitamos dos módulos triangulares.

Hacemos recuento de materiales, para la quinta iteración:

• 4⁵=1024 tetraedros

• 1024·2=2048 módulos triangulares (tamaño A5)

• Pegamento de secado rápido y lento (para hacer que las uniones tengan mayor superficie)

Tercera iteración

Esta entrada se irá completando con otras imágenes del proyecto