Toro de papiroflexia: 360 módulos phizz

La entrada de la construcción del toro con 105 piezas, se ve ampliada con esta otra en la que vamos a describir algunas particularidades sobre la superficie y el ensamble de esta construcción, hermana mayor de la anterior.

En primer lugar, vamos a detenernos en los diseños, prestando atención a los polígonos que pueden intervenir en la misma. Puesto que el módulo que emplearemos es el phizz (véase su construcción y montaje aquí) y con el mismo se pueden hacer polígonos de cinco o más lados, supongamos que en la construcción del toro queremos emplear tres tipo de polígonos. A saber, p pentágonos, h hexágonos y k polígonos de n lados. Si notamos por C al número de caras, V al de vértices, A el de aristas y g el género de la superficie, todos estos valores se encuentran relacionados por la fórmula de Euler-Poincaré:

En nuestro caso además:

Sustituyendo en la fórmula de Euler -Poincaré y desarrollando la expresión resultante tenemos:

La expresión (*) tiene importantes consideraciones:

• El polígono de menor número de lados que podemos usar con el módulo phizz, es el pentágono.
• No podemos emplear, exclusivamente pentágonos y hexágonos.
• El número de pentágonos, ha de ser proporcional al número de polígonos de n lados (donde el valor más pequeño de n es 7).
• Si n=7, el número de pentágonos y de heptágonos empleados es el mismo (p=k).
• Si n=8, el número de pentágonos es el doble que el de octógonos (p=2k, como ocurre en el toro 105).

Construcción del toro

Nuestra propuesta, incluye el uso de pentágonos (p=24), hexágonos (h=72) y heptágonos (H=24). Mediante las expresiones obtenidas anteriormente, resulta que la construcción resultante tiene:

• A= 360 aristas
• V= 240 vértices
• C= 120 caras

y claramente 

Tras algún primer intento desastroso, pues las búsquedas en Internet te conducen en ocasiones a informaciones erróneas y las imágenes que encontraba, no permitían el detalle de las disposición de los polígonos, obtuvimos esta que si bien no se centra el estudio matemático de la superficie, por lo menos incluía un esquema acertado:

Se trata de hacer dos copias de esta disposición, donde los hexágonos amarillos son compartidos y en la parte de abajo, comenzaríamos a construir nuevos heptágonos.

Dado que la actividad se llevó a cabo con nueve alumnos, vimos la necesidad de optimizar los recursos y diseñar un plan de trabajo que permitiese la participación de todos a la vez (cosa que es materialmente imposible si construimos directamente la figura). Para ello, diseñamos dos coronas, circulares empezando por 12 heptágonos cada una. Una vez cerrados los mismos, en la parte exterior se van sucediendo de forma alterna pentágonos con hexágonos, tal y como puede apreciarse en las fotos siguientes:

Y ahora nos toca ensamblar ambas piezas; para ello tendremos en cuenta:

• Al unir la parte central (módulos rojos con amarillos) debemos eliminar dos de los amarillos y en su lugar ocuparlos por rojos. Este exceso de trabajo, se debe a la morfología del módulo, pues el sobrante amarillo, hace que el heptágono no se desarme.
• En la parte externa: 

                   - Unimos los módulos situados bajo los pentágonos mediante un nuevo módulo, cerrándose así dos hexágonos.

                   - Ensamblamos los módulos situados bajo los hexágonos (nuevamente hay que eliminar dos módulos) generándose tres hexágonos.

Culminamos nuestra construcción, con las imágenes finales:

Ya sólo me queda agradecer el trabajo de mis alumn@s de 4ª de ESO Díver y esperar que esta experiencia les haya enriquecido tanto como a mi. Nuestro proyecto en la Feria de la Ciencia, en Sevilla, creo que tiene en ellos unos grandes divulgadores.

NOTA: El Profesor D. José Ignacio Royo (UPV-EHU), tiene un artículo sobre origami muy interesante, en que pude aclarar ciertas dudas clave de la culminación de este trabajo. y cuya lectura es de gran interés. 

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.