Toro de papiroflexia: 105 módulos phizz

Ahondando en la pasión que siento por las construcciones con papel, vamos a explicar algunos datos sobre la elaboración de un toro usando técnicas de papiroflexia modular.
El toro, es un objeto geométrico que surge al hacer girar una circunferencia alrededor de una recta coplanaria a la misma, pero exterior a ella. Cualquier neófito, dirá que eso es un "Dónut" o parafraseando al gran Homer Simpson, una rosquilla!!!

La base de la construcción, es un módulo creado por Tom Hull llamado phizz (pentágono, hexágono y zigzag) cuya elaboración y el ensamble, pueden verse en el siguiente vídeo del Grupo Alquerque.
La elección de este módulo es debida, a pesar de su nombre, a que podemos realizar polígonos de un mayor número de lados (en concreto octógonos). La idiosincrasia del toro, con curvatura gaussiana negativa en su interior y positiva en la parte externa, hace que necesitemos una pluralidad de polígonos para obtener una triangulación de la superficie. Pensemos que podemos realizar mosaicos regulares con hexágonos, que al ser planos tendrían curvatura nula. Así, para obtener la positiva y la negativa, necesitamos transitar entre polígonos de un mayor número de lados para recubrir el interior y menor para el exterior.

Al tratarse el toro de una superficie orientable sin borde de género 1 (recordemos que el género de una superficie es el número de "agujeros"), la formula de Euler-Poincaré nos indica que el número de caras (C), el de vértices (V), el de aristas (A) están relacionados con el género (g) mediante la expresión:

                                                         

Usando el esquema de montaje, de Sarah Marie Belcastro, que puede verse en el siguiente artículo

debemos usar 5 octógonos, 10 pentágonos y 20 hexágonos para realizar nuestra construcción, en total C=35. Como cada vértice está determinado por tres aristas y cada arista sirve para construir dos vértices, se tienen V=(105/3)*2=70 vértices. Dos caras tienen en común una arista, por lo que el número de estas es A=(5*10+20*6+8*5)/2=105 aristas. Claramente, los valores obtenidos, satisfacen la ecuación de Euler-Poincaré.  

Ya sólo nos queda ponernos manos a la obra, y fruto de todo ello son estas imágenes:

Esta proyecto forma parte de la propuesta de la Feria de la Ciencia en Sevilla "¿Qué superficie topológica tengo en mis manos?. Juguemos a ser topólogos", y que en nuestro Centro (IES Alborán, Almería) estamos desarrollando junto al profesor José María Lirola con alumnos de 4º de ESO.

En esta andadura, estamos muy bien acompañados por José Luis Rodríguez (UAL), Lidia García (IES Francisco Montoya), Teresa Segura (IES Algazul) y Eva Acosta (IES Santo Domingo). 

NOTA: Otra propuesta de triangulación del toro, fue realizada por José Luis usando polifieltros, y puede ser consultada en la siguiente entrada de su blog.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.