Puntos notables del triángulo

Hace unos días, mi compañera de dibujo Rosa Guillén, me transmitió una pregunta que le habían formulado sus alumnos de 4º de ESO: "¿porqué se cortan siempre las rectas notables de un triángulo?". Ni corta ni perezosa, como corresponde a una profesional inquieta, me trasladó la cuestión por si podía aportar luz. Suelo decir, que a los matemáticos no nos gustan los problemas (habrá a quien sí, e incluso meterse en ellos), si no que nos divertimos intentando resolverlos.

La preguntita, así formulada, con la espontaneidad de los niños cuando tienen 15 años y una mente no domada por los años de impartir docencia, me parecía un auténtico reto.

Y la solución a la misma, nació por el principio de dualidad: lo importante son los puntos.

• El baricentro, es el centro de gravedad del triángulo. Desde el punto de vista práctico, si dispusiéramos de una mesa triangular a la que sólo quisiéramos poner una pata, sería ese el punto donde deberíamos colocarla. Para obtenerlo, basta con ver donde se cortan las medianas.
• El incentro, es el centro de la circunferencia tangente a los lados y su construcción se basa en estudiar dónde se cortan las bisectrices (nótese que la tangente a una circunferencia forma un ángulo recto con el radio en el punto de tangencia y por lo tanto el incentro es un punto a igual distancia de los lados del triángulo, lo que en una red de carreteras triangular, permitiría poner una estación de servicio que enlazaría con las otras por el camino más corto).
• El circuncentro, es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices y por lo tanto equidista de estos. Desde un punto de vista operativo, dados tres pueblos no alineados, si quisiéramos construir un Consultorio médico para a tender a sus habitantes (pues en estos tiempos de crisis, gracias a los recortes en Sanidad, no da para hacer uno en cada pueblo), éste debería ubicarse en el circuncentro. Y su construcción se basa en ver el punto de corte de las mediatrices (que son lugares geométricos que equidistan de los vértices entre los que se trazan).
• El ortocentro, no tienen una aplicación tan directa...pero si las alturas, para calcular entre otras cuestiones, el área del triángulo. Entonces, ¿qué casualidad que también se cortan las alturas?. La explicación es sencilla: si por cada vértice del triángulo, trazamos una recta paralela al lado opuesto, estas se cortan dos a dos formando un nuevo triángulo. Y las alturas del triángulo inicial, resultan ser las mediatrices del nuevo, que sabemos que se cortan.

Así que las rectas notables se cortan, precisamente porque se construyen para obtener los puntos. De ahí que los realmente notables, sean los puntos y no las rectas. Si buscamos bibliografía de referencia (por ejemplo véase) observaremos que la relevancia la tienen los puntos.

La recta de Euler, dio pie a otra cuestión, que me ha motivado a realizar el siguiente applet de Geogebra. Si el genial Euler demostró en el s. XVIII que baricentro, circuncentro y ortocentro se encuentran alineados (precisamente la recta que los contiene lleva su nombre), ¿bajo qué condiciones los cuatro puntos notables pertenecen a la recta de Euler?. Y la condición necesaria y suficiente es que el triángulo tenga dos lados iguales (isósceles) coincidiendo entonces todas las rectas notables trazadas sobre el lado desigual con la de Euler.