La letra del NIF

En esta entrada, voy a desgranar los entresijos que subyacen bajo la letra que acompaña a nuestro Documento Nacional de Identidad (DNI). La pretensión de la misma, es doble: por un lado servir de apoyo en mis clases en los primeros cursos de la Secundaria (por lo que la lectura de la primera parte, tiene un público generalista) y por otro, demostrar la valía del uso de números primos en códigos numéricos.

El Número de Identificación Fiscal (NIF) es un conjunto de 8 dígitos acompañados de una letra, que sirve como código de verificación, esto es, para evitar errores al introducir nuestros datos. Vemos cómo se obtiene dicha letra:

Dividimos la cifra de 8 dígitos  entre 23, con lo que el resto de la división entera ha de ser un número comprendido entre 0 y 22. La elección de la letra se realiza asignando al resto obtenido, la correspondiente en la siguiente tabla:

RESTO	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
LETRA	T	R	W	A	G	M	Y	F	P	D	X	B	N	J	Z	S	Q	V	H	L	C	K	E

Para fijar ideas, veamos un ejemplo:

Supongamos que la cifra de nuestro DNI es 45234178, la división entre 23 es: 

Con lo que la letra correspondiente es la D y nuestro NIF sería: 45234178 D.

De manera natural, surgen dos preguntas:

1. ¿Por qué dividir entre 23?

Nuestro alfabeto cuenta con 27 letras, con lo que podría parecer natural dividir entre 27. Pero para evitar parecidos entre números y letras eliminamos I y O (pues podrían confundirse con los dígitos 1 y 0). También prescindimos de la Ñ por su similitud con la N. Dispondríamos entonces de 24 letras candidatas...¿porqué entre 23? La razón no es baladí, ya que 23 es el primo inmediatamente inferior a 24 y tiene como veremos, un interés especial. Así que quitamos otra letra de la lista, en este caso la U (no entiendo bien las razones de la elección, pero esa fue la que se eliminó).

Las ventajas de dividir entre 23, residen en la motivación de asignar una letra a nuestro DNI: es un código verificador de errores. Los más comunes son repetir un dígito, cambiar uno o permutar dos de ellos. En todos estos casos, la letra cambia, con lo que detectaríamos que hay un error. Siguiendo con el ejemplo:

• 45234178 D (número original)
• 55234178 T (repetición de un dígito)
• 49234178 X (cambio de un dígito)
• 54234178 V (permutación de dos dígitos)

2. ¿Qué esconde la primalidad de 23? 

La Teoría de grupos pone la alfombra roja para responder a la pregunta: en el grupo multiplicativo  todo elemento tiene inverso, lo que permite detectar los errores más comunes. En efecto:

Repetición de un dígito o alteración de uno de ellos:
 

La última equivalencia es factible por la consabida existencia de inverso de cualquier elemento.

Permutación de dos dígitos: