domingo, 25 de diciembre de 2016

¿Cuántos cuadrados ves?


Hace una fechas, me topé con una de estas imágenes que circulan por las redes, en las que se ve un cuadrado subdividido y hacen la preguntita ¿Cuántos cuadrados ves? Al tratar de resolverlo, debes seguir alguna estrategia y en este caso, basta con contar. Tomemos como unidad, la medida del lado más pequeño y podemos contar cuántos hay de cada tipo. Veamos un ejemplo, donde  , denota el número de cuadrados que hay en uno, de tamaño i:
Y aquí vino mi sorpresa: ¡el número de cuadrados, se puede a su vez expresar como la suma de cuadrados de naturales consecutivos! Tan bonito resultado, no le queda más remedio que ser cierto y no fruto de la casualidad de estos primeros casos. Y en efecto es así. Para demostrarlo, pensemos que un cuadrado de tamaño mayor, se obtiene adosándole una orla al de tamaño inmediatamente anterior, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Y aquí, la Geometría se fusiona con el Análisis, para las cuentas. Claramente, el número de cuadrados, será el que haya en uno de tamaño inferior, junto con los nuevos que genere la orla. Denotando  al número de cuadrados nuevos, se tiene: , para i cualquier natural superior a uno.


Queremos demostrar que  (*). Además, esta suma no cuesta mucho demostrar que se puede expresar como:



Manos a la obra: para demostrar que el número de cuadrados es una suma de cuadrados como en (*), procedemos por inducción:

  • Para n=1, claramente se tiene la igualdad
  • Supongamos cierta la igualdad para un natural n.
  • Para n+1: 
Veamos entonces cuántos cuadrados nuevos se generan con la orla. Para ello, vamos a considerar el lado de los mismos:
- De lado 1: (n+1) + n = 2n+1
- De lado 2: n + (n-1) = 2n-1
- De lado 3: (n-1) + (n-2) = 2n-3
...................................................
- De lado n: 2 + 1 = 3
- De lado n+1: 1
_________________________________________________

En total: 


Pero la suma, es la de los n+1 términos de una progresión aritmética de diferencia 2, con lo que aplicado la consabida fórmula, se tiene:

lo que concluye la demostración.
Así, en número de cuadrados que "ves" en uno de lado n, viene dado por:
¿No es sencillamente precioso?

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